狄拉克材料中存在很多新奇的电子态,如克莱因隧穿导致的准束缚态,量子霍尔效应中多样的边界态,空间结构不对称导致的扭结态等等。这些新奇电子态的形成机制和量子输运中的独特性都是被广泛关注的研究对象。本论文通过格林函数和转移矩阵等方法,对石墨烯克莱因量子点,铋烯拓扑量子点,石墨烯谷过滤器和锑烯谷过滤器问题进行了探索。克莱因量子点描述的是存在准束缚态的量子点。由于石墨烯结构中存在克莱因隧穿,电势差引起的量子点并不能够完全的束缚载流子,载流子只能在量子点中停留一段时间。并且,在最近的石墨烯实验中已经观察到了这种准束缚态。我们提出了一种研究石墨烯体系准束缚态的数值方法。通过研究势能变化引起的圆形量子点局部态密度的变化,我们得到了准束缚态与量子点参数（如载流子能量,量子点半径和束缚电势）的依赖关系。这些变化关系可以很好地解释一些实验现象。通过引入谷间散射,我们可以调控准束缚态到束缚态的转变。当克莱因量子点的形状从圆形变化到半圆时,形变抑制载流子形成封闭的干涉路径,改变局域态密度的分布,从而消除相应的准束缚态。这一发现揭示了石墨烯系统中准束缚态的回音壁模式的束缚机制。铋烯等大带隙量子自旋霍尔材料的发现为制备拓扑电子学器件提供了广阔平台。利用面内磁化可以在该体系中设计拓扑量子点。在铋烯纳米带的两个区域引入面内磁化,我们得到一个包括量子点,绝缘层和导线的量子点系统。零温微分电导的结果表明,量子点的受限能级来自于铋烯拓扑边界态。这种受限能级在较大的样品中仍然可以观测到。能级位置、能级间距以及量子点与导线的耦合系数都具有高度的可调控性。不同于传统量子点,在这个拓扑量子点中两个区域的磁化方向夹角能够有效调控量子点内受限能级的位置。通过数值计算和理论分析,我们发现这一机制来源于其拓扑边界态独一无二的量子束缚效应。并且这一机制可以成功应用在拓扑量子点的自旋输运中。除了电子的电荷和自旋,狄拉克材料还具有另一个自由度,即谷。对于由两个正常石墨烯和一个谷过滤器组成的三明治结构,我们研究了单层和双层石墨烯两种谷过滤器模型及其在无序情况下的谷传输效率。采用传递矩阵的方法,我们可以得到谷输运的透射系数。我们发现:（1）在弱无序条件下,当扭结态区域的长度大于15 nm时,这两个模型是理想的（量子化电导）通道和（完全极化）谷过滤器;（2）在无序状态下,背散射和体态的参与加强了谷间散射,使电导增强,谷极化传输效率减小;（3）在扭结态区域很长的情况下,虽然电导变小,但是谷极化效率与长度无关。垂直磁场对电荷输运和谷输运的影响很小。此外,我们还讨论了单层-双层石墨烯混合系统中谷极化电流的注入效率。生长在LaFeO3衬底上的氢化的锑烯是一种同时拥有量子自旋和量子反常霍尔态的二维材料。在锑烯纳米带中,量子反常霍尔的边界态属于其中一个谷自由度,局域在纳米带的两个边界上;量子自旋霍尔的边界态属于另一个谷自由度,局域在纳米带其中一个边界上很窄的范围内。采用散射矩阵和格林函数的方法,我们计算了在安德森无序,边界缺陷和边界形变情况下的谷隧穿和局域电流的空间分布。计算结果表明,当三种类型的无序达到一定强度的时候,载流子仍然可以无耗散的传输,且传输电流的谷极化率为100%。当器件长度增加时,隧穿电流不会减小,电流的谷极化效率也不会减小。因此,锑烯也可以被用来设计完美谷过滤器,原理是:无序摧毁量子自旋霍尔边界态,但是保留谷极化的量子反常霍尔边界态。