数学形态学是一种新型的非线性图像处理和分析理论。它摒弃了传统数值建模及分析的观点,从集合角度来刻画和分析图像。它的基本思想是利用一个携带对象特征的结构元素去探测图像,收集图像的信息。本文首先详细讨论了完备格上的数学形态学,将它作为整篇论文的框架和基础。在完备格的理论框架下,我们将经典二值形态学和灰度数学形态学在更大的数学概念——Abelian群上进行了研究,而将经典数学形态学作为Abelian群上数学形态学特例进行了讨论,对形态学中重要的定理和性质给出了新的证明,包括著名的形态学表示定理。本文重点研究处理彩色图像的矢量形态学,并探讨了它的应用。我们首先定义了退化序和条件序综合的距离全序,创新性地提出了基于距离全序的矢量数学形态学和软矢量数学形态学,并对它们的各种数学性质进行了比较研究。在此基础上,研究了基于距离全序上的软矢量数学形态学在彩色图像的噪声去除、边缘提取等方面的应用。实验结果表明本文提出的基于距离全序上的软矢量数学形态学,在图像的细节保持上具有更大的优势,对脉冲噪声和物体形状的微小变化具有更大的鲁棒性(稳定性)。