无网格方法是近年来迅速发展起来的一种基于节点而不是网格的新型数值方法,是当前数值方法研究的热点之一。众所周知,无网格方法的数学理论并不完善,这在一定程度上限制了其发展与应用。本文针对无单元Galerkin方法求解二阶椭圆混合边值问题和不可压缩流体问题进行了理论分析和数值应用,具体研究工作如下:首先,研究了求解二阶椭圆混合边值问题的无单元Galerkin方法的先验近似估计。通过使用罚方法施加Dirichlet边界条件,严格论证了加罚二阶椭圆混合边值问题对应的Galerkin变分问题解的存在唯一性。基于移动最小二乘近似在Sobolev空间的误差估计,研究了二阶椭圆混合边值问题的无单元Galerkin方法的H1和2L误差估计。误差结果表明,未知变量的H1和2L误差估计与基函数的选取,节点间距和罚因子相关。其次,研究了定常Stokes问题与加罚定常Stokes问题的先验近似估计,证明了加罚定常Stokes问题对应的Galerkin变分问题解的存在唯一性,并论证了加罚定常Stokes问题的非标准无单元Galerkin方法离散解的存在唯一性。同样地,借助移动最小二乘近似的误差估计,分析了速度和压力的误差估计。误差结果表明,速度和压力的误差估计与基函数的选取,节点间距和罚因子相关。然后,借鉴广义有限元方法（Generalized Finite Element Method,GFEM）的基本思想,发展了广义无单元Glerkin（Generalized Element-Free Galerkin,GEFG）方法,并求解了定常Stokes问题。对比分析表明,在变分多尺度的框架中,GEFG与变分多尺度无单元Glerkin（Variational Multiscale Element-Free Galerkin,VMEFG）方法是相似的,但在实际问题中前者更合理,并且前者的离散形式更简单、更直接。数值实验显示,该方法具有较高的计算效率和精度。最后,发展了插值型变分多尺度无单元Galerkin（Variational Multiscale Interpolating Element-Free Galerkin,VMIEFG）方法,并求解了Darcy-Forchheimer模型和广义Oseen问题。该方法分别选择了插值移动最小二乘方法和移动Kriging插值（Moving Kriging Interpolation,MKI）来构造无网格形函数。该方法的基本思想是速度及其权函数可分解为粗尺度和细尺度。通过解析地求解细尺度问题,稳定化参数可以自然地出现。VMIEFG方法允许速度和压力选取等阶基函数,即标准无单元Galerkin方法可以使用,从而编程很容易实现。数值实验表明,该方法具有很好的稳定性和数值精度。