论文部分内容阅读
函数空间上的算子理论是线性算子理论中十分活跃并引起广泛关注的分支之一，这是因为算子理论中许多深层次的问题都可以模型化为具体的函数空间上的、由具有某些特殊性质的函数所诱导出的算子的相应问题.人们通过对这些“具体”算子的研究来揭示“抽象”算子的内在性质.Bergman空间上的Toeplitz算子和Hankel算子作为算子理论中的一个重要分支，近半个世纪以来，得到了广大学者的关注.一方面，它们与函数论和算子理论中的诸多经典问题密切相关，如不变子空间问题.另一方面，它们在量子力学、控制理论、小波分析等学科中有着十分重要的应用.关于这两种算子的研究对探索算子理论乃至线性算子的结构及其应用将会产生积极的作用，同时也将会促进算子理论与代数、几何、拓扑等领域的融合.本文主要研究了单位圆盘调和Bergman空间上以拟齐次函数为符号Toeplitz算子和小Hankel算子的交换性、乘积问题，以及单位球多重调和Bergman空间上以拟齐次和分别拟齐次函数为符号的Toeplitz算子的交换性、乘积等问题. 第一章主要介绍Hardy空间、Bergman空间、调和Bergman空间上Toeplitz算子和Hankel算子等相关背景知识，以及关于Toeplitz算子和Hankel算子的有界性、紧性、有限秩、交换性、乘积等方面的研究历史和研究现状. 第二章主要在单位圆盘调和Bergman空间上，利用Mellin变换，研究了以径向和拟齐次函数为符号的Toeplitz算子和小Hankel算子的代数性质，解决了拟齐次Toeplitz算子和拟齐次小Hankel算子的乘积问题.同时，给出了拟齐次Toeplitz算子与小Hankel算子可交换的条件. 第三章主要在单位球多重调和Bergman空间上，研究了以拟齐次函数和分别拟齐次函数为符号的Toeplitz算子的一些代数性质.首先给出了两个以特殊分别拟齐次函数为符号的Toeplitz算子乘积为Toeplitz算子的条件.其次，讨论了其一为分别拟齐次Toeplitz算子，其它为拟齐次Toeplitz算子的多个Toeplitz算子的零积问题，并且证明了与一个分别拟齐次Toeplitz算子乘积为零的Toeplitz算子只有平凡的形式.最后，得到了特殊拟齐次和分别拟齐次Toeplitz算子的交换性.