组合计数理论是组合数学中一个最基本的研究方向,它主要研究满足一定条件的安排方式的数目及其计算问题,所用到的基本原理和方法大体有:容斥原理、反演原理、Polya计数定理以及发生函数方法等。本文借助其中的一种基本且应用广泛的方法——发生函数方法,对在组合计数理论中具有举足轻重地位的两类组合数:Lucas数和Stirling数进行了进一步地学习和研究。 本文的主要工作可概括如下: 1.第一章主要介绍了本文的两个研究对象:Lucas数和Stirling数。介绍了它们的起源、定义、基本性质以及研究状况。 2.第二章详细介绍了本文研究所用到的主要方法:发生函数方法。借助抽象代数的观点,将发生函数定义为形式幂级数,在引进形式幂级数的一种加法和乘法运算后,可使一切形式幂级数做成一个整环,为发生函数的四则运算建立了严谨的理论基础。最后通过举例,形象地展示了这一方法的具体应用。 3.第三章把发生函数方法的思想运用到对广义Lucas数的研究中,借助各种已知数列的发生函数,得到了若干包含广义Lucas数的平方及三次方的恒等式,并在最后借助所得到的恒等式给出了Lucas数的几个同余性质。 4.第四章从组合意义角度对两类普通Stirling数进行了推广。结合推广后的两类Stirling数的组合意义,首先给出了它们满足的基本递推关系。接着又给出了它们的各种形式的发生函数。进一步又得到了推广后的两类Stirling数的若干基本性质,如“三角”递推关系,“垂直”递推关系,同余性质等。