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在本文的第一章,我们考虑了如下形式的Zeta函数(s)α,β(s)=∞∑n=1dα,β(n)/ns((r)s>1),其中α,β为给定的有理数,满足0<α<β且dα,β(n)=∑n=klαl<k≤βl1.我们证明了(s)α,β(s)可以解析延拓到(r)s>1/3并得到如下均值结果:定理1.2.令T≥2且s=σ+it,则对任意1/2<σ<1,一定存在正常数ε(σ)>0,使得∫2TT|(s)α,β(σ+it)|2dt=T∞∑n=1d2α,β(n)/n2σ+Oα,β,σ(T1-ε(σ)).
一个三维数组(a,b,c)∈(N)3,如果满足a2+b2=c2,a<b且gcd(a,b,c)=1,那么我们称之为一个原直角三角形.对x>2,令P(x)为周长不超过x的原直角三角形的个数.作为定理1.2的一个应用,我们得到定理1.3.在Riemann假设下,对x≥2以及任意ε>0,有P(x)=log2/πx+Oε(x4/11+ε).这改进了[18]中余项的指数5805/15408.
在本文的第二章,我们考虑了含有尖形式傅立叶系数的指数和.令f(z)为一个SL2(Z)上的权为k的全纯尖形式,则f(z)有如下傅立叶展开式f(z)=∞∑n=1a(n)n(k-1)/2e(nz)((r)z>0),其中e(z)=e2πiz.类似的,令u(z)为一个SL2(Z)上具有Laplace特征值1/4+r2的Maass尖形式,则u(z)有如下傅立叶展开式u(z)=2√y∑n≠0Kir(2π|n|y)e(nx),这里K为K-Bcssel函数.在[26]中,Pitt考虑了含有傅立叶系数a(n)的指数和并且证明了,对任意的ε>0,有∑n≤Xa(n)e(αn2+βn)(≤)X15/16+ε,对α,β∈(R)一致成立,其中(≤)中的隐含常数仅与ε和尖形式f有关.本文我们改进了Pitt的结果,证明了如下结论.定理2.1.令X≥2,且α(n)由(2.1)或(2.2)给出,则对任意ε>0我们有∑n≤Xa(n)e(αn2+βn)(≤)X7/8+ε,对α,β∈R一致成立,且(≤)中的隐含常数仅与ε以及(2.1)或(2.2)中的尖形式f有关.