根据经典的KAM定现,对于典型的近可积哈密顿系统,相空间的绝大部分被不变环面所充满,环面上的相流是拟周期运动.由此产生了一个自然的问题:在余下的相空间中轨道的动力学行为如何?一般来说,其中的轨道的动力学行为相当复杂,呈现出幅随相和混乱的图像,人们将这部分相空间称为Arnold不稳定域.Arnold首先研究了这个不稳定域中的动力学现象,发现当自由度数目大于2时,会出现Arnold扩散现象,初值落在其中的轨道的作用量可能会出现明显的演化.然而后期人们的研究发现,在Arnold不稳定域中仍存在规则的轨道,有些维数小于自由度数目的不变环面能够在小扰动下保留下来.对于单调扭转映射,著名的Birkhoff不动点定理指出,在通有情况下旋转数为有理数的不变曲线一般会破裂,但在其附近至少有两组周期轨道,一半为椭圆的,一半为双曲的.对于n个自由度的凸的哈密顿系统,若其频率向量满足n-1个共振关系,类似于扭转映射,D.Berstein和A.Katok证明了至少有n个周期轨道能够在扰动后保留下来,称之为Birkhoff周期轨道.当其频率向量满足1个共振关系式时,程崇庆(ChengC.Q.)先后在1996年和1997年的两篇文章中证明了,至少有两个n-1维不变环面保留下来,在通有情况下一个为椭圆,一个为双曲的.当频率满足其它共振关系时,在对扰动没有加任何限制时,问题就显得较为复杂,至今还没有任何结果.