【摘 要】
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排列是组合学中一个经典的研究对象,与许多重要的组合结构密切相关,包括格路、树、无交叉集合划分、标准杨表、01-矩阵等。自20世纪初著名组合学家MacMahon P A的标志性工作以来,排列统计量的研究成为组合学领域的核心研究课题之一。排列上重要的统计量包括主指标、逆序数、超位数、降位数等,其中排列的降位数是由Eulerian数计数的。Eulerian数和Eulerian多项式是组合数学、组合数论、
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排列是组合学中一个经典的研究对象,与许多重要的组合结构密切相关,包括格路、树、无交叉集合划分、标准杨表、01-矩阵等。自20世纪初著名组合学家MacMahon P A的标志性工作以来,排列统计量的研究成为组合学领域的核心研究课题之一。排列上重要的统计量包括主指标、逆序数、超位数、降位数等,其中排列的降位数是由Eulerian数计数的。Eulerian数和Eulerian多项式是组合数学、组合数论、组合代数学中一类重要的序列,受到广泛的关注和研究,并有不同类型的推广。本文对广义Eulerian多项式An(p,q)进行了较为深入的研究,其中Sn表示集合{1,2,3…n}的排列的全体,odes(π)和edes(π)分别表示排列π在奇数和偶数位置的降位数。利用广义Eulerian多项式An(p,q)的递推关系式,不仅得到了An(p,q)的指数型生成函数,而且利用经典Eulerian多项式An(q)和Catalan序列C(q)的生成函数,进而得到了An(p,q)的显式表达式。同时确立了An(p,q)与特殊情形An(p,0)和An(0,q)的密切关系,在此基础上还研究Eulerian数An,k、Euler教En与An(0,q)的系数an,k三者之间的联系,得到它们之间的一些重要公式。研究了广义Eulerian多项式An(p,q)中的一些特殊值与Euler数En的关系。最后,研究了an,k的递推公式,并给出组合证明。
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