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本论文讨论了一类扩张系统轨道不稠密的点集的winning性质以及分别考虑两类区间映射的一个组合性质:一类分段递减且到上系统的禁止型和一类分段线性映射不变集的扰动.全文包含三大部分. 第一部分,主要研究一类分段递减且到上系统的禁止型.对于动力系统的禁止型,特别是能转化为符号动力系统的系统,最早源于J.M.Amig′o,S.Elizalde和M.B.Kennel的论文.在这篇论文中,他们指出了N个符号的shift系统中,在通常的字典序下,存在序关系下的禁止型,并且给出最小的根禁止型.在[16]中,对于N个符号的shift系统,Elizalde证明了[4]中关于最小根禁止型的一个猜测,同时给出了恰好能由N个符号的shift系统实现的禁止型的个数的计算公式.在[17]中,对于beta变换禁止型给出了刻画.在[3]中,作者研究分段单调且到上映射的禁止型,对禁止型的刻画给出了一些必要条件.在本论文中将证明,文献[3]给出的必要条件并不是如其宣称的是充分的,并且对一类分段递减且到上系统的禁止型做出了完整的刻画.同时,对一般的分段单调且到上系统的禁止型也进行了讨论. 第二部分主要研究一类扩张系统轨道不稠密的点集的winning性质.用BAD(ξ)表示在映射T作用下轨道不能逼近ξ的点所组成的集合.Schmidt[60]证明如果T是Gauss变换,则集合BAD(0)是1/2-winning的.F¨arm[22]证明了对一类包含Gauss变换的扩张映射,对任意的ξ∈[0,1],如果ξ的展式是定义好的,那么BAD(ξ)是1/4-winning的.同时F¨arm[22]证明,如果β>1是一个简单beta数,T为对应的beta变换,则对任意的ξ∈[0,1],集合BAD(ξ)是1/4-winning的.F¨arm,Schmeling和Persson[23]证明对任意的β>1,当T是对应的beta变换时,对任意的ξ∈[0,1],集合BAD(ξ)是α-winning的,其中α≤1/64.Mance和Tseng[49]证明了具有有界L¨uroth展式的点集,等价的说,即集合BAD(0)是1/8-winning的.在本论文中,对区间[0,1]上分段单调且到上的映射,如果其导数满足一定的条件,则对任意的ξ∈[0,1],集合BAD(ξ)是1/2-winning的;同时对一般的beta变换,对任意的ξ∈[0,1],集合BAD(ξ)是1/2-winning的. 第三部分,主要研究一类分段线性映射不变集的扰动.对区间[0,1]上的一类分段递增的映射,考虑其轨道总是落在[a,b]之间的点的集合,即考虑集合Ta,b:=∞∩n=0T?n[a,b].对二元函数?(a,b):=dimH Ta,b,考虑a,b扰动时,什么情况下二元函数?(a,b)的值保持不变.