做为保险或精算数学的重要一支,集体风险理论主要研究用来刻画保险业务的随机模型。自从Lundberg理论的创立到现今,它一直是研究领域中最为活跃的部分。风险理论的基础模型是由F.Lundberg在1903年提出的古典风险模型。该模型用一个具有平稳独立增量性的复合泊松过程来刻画。那么它是一个强马程、可以用经典的方法构造指数鞅,还属于跳-扩散过程类等等,正因为古典风险模型有着如此优美而简洁的性质,在此模型下已经得到了很多有现实应用价值的精算诊断量的漂亮结果,这些精算诊断量包括破产时间、破产前余额、破产后赤字等等。针对这些精算变量,所谓的Gerber-Shiu折现罚金函数和它们的联合分布这两个问题一直受到了很多学者的青睐和研究。 近来,为了更好的贴近现实,古典模型在很多方面得到修正。一种足把索赔间隔的刻画由泊松过程推广到一般的点过程,如更新过程或者Cox过程。另外一种有意义的推广是让保险公司在破产后继续运行。由于正的安全负荷的假设,公司资产最终会趋于无限大,那么如果让公司不管破产而一直运作的话,它的资产只会出现一段时间的赤字。所以我们想找出公司资产出现赤字的持续总时间,也就是找到公司资产为负值的时间。这两种修正不仅在理论研究上很有意思,在实际应用中也很有意义。 基于此,我的博士毕业论文主要致力于研究破产概率的发展(Gerber-Shiu折现罚金函数),破产时间,破产前余额、破产后赤字这三个精算量的联合分布以及风险过程的负持续时。论文的结构如下：第二章讨论了带利率风险模型和对偶风险模型的负持续时；第三章得到了Cox风险模型的三个精算量的联合分布；第四章研究了当索赔间隔服从相位分布时的Sparre Anderson(更新)风险模型的Gerber-Shiu折现罚金函数。从方法思想上讲,我受启发于Rolski et al. (1999)和Asmussen(2000)这两本书以及吴荣等(2003,2004,2005)和Gerber and Shiu(2005)等论文,利用马氏过程的方法和结论再结合风险领域的经典技巧方法,得到了一些有异于他人推导过程和方法的新结果。 该论文首先对古典风险模型、模型中一些基本的定义以及本篇论文的主要内容在第一章中做了简要的回顾和叙述.然后就是本篇论文的主体部分。 首先,我们研究了常利率风险模型的负持续时间。Egidio dos Reis(1993)首次考虑了负持续这个主题并且利用Gerber(1990)关于首中时的鞅方法得到了古典风险模型的负持续时的拉普拉斯变换。随后也有很多这方面的文献,如Dickson和Egidio dos Reis(1996)关于离散时间风险模型的负持续时的分布；张春生和吴荣(2002)关于带扰动模型的负持续时的拉普拉斯变换,等等。受上述工作的启发,我们考虑常利率模型。注意到古典风险模型加上利率后,该随机过程不再有平稳独立增量性,本质上不同于古典模型了!以前的处理技巧、方法不能照搬套用在带利率模型上,马程的技巧理论必须引进。受启发于吴荣等(2003)文章,我们构造了基于风险过程的零点序列的更新测度,推导出这个更新测度的密度函数和用该密度函数来表示的风险过程首中零点时的密度分布函数。利用这些密度函数和过程的强马氏性,得出常利率风险模型负持续时间的分布函数的精确表达式。转而我们考虑对偶风险模型,这个模型很好地刻画了如房地产公司、投资公司等公司的资产余额过程。利用构造的更新测度,得到了过程击中零点的概率。而且得到了该模型负持续时间的拉普拉斯变换、期望、方差。在指数索赔下给出了数值例。其次,我们分析了Cox风险模型。该模型的索赔时间间隔由Cox过程来刻画,它是古典模型的很自然地推广。因为包含了风险变化和保单波动两项因素,Cox模型在现实应用中有其独特优点。Gerber and Shiu(1997)首次研究了古典风险模型的破产时间、破产前余额、破产后赤字三个重要精算量的联合分布,但得到的结论表达式中有一项未能明确表达,只是给出了直观的概率含义。吴荣等(2003)更深一步研究了三联分布的问题,用马程的方法明确地给出了三联分布的表达式,精确了Gerber and Shiu(1997)的结论。受其启发,我们利用另外的技巧一时间变化的方法,得到了Cox模型的三联分布,同时也给出了与该模型相关的密度测度的分布。 最后,我们考虑了带扰动的Sparre Anderson(更新)风险模型,该模型推广了古典模型；其一,索赔间隔分布不再局限于指数分布；其二,在原过程的基础上加入了随机干扰(如布朗运动、levy过程)。如果和大家熟知的排队论联系,可以说古典风险模型对应于M/G/1类型的排队模型,而Sparre Anderson风险模型则对应于GI/G/1排队模型。该风险模型虽然提出到今有半个多世纪,但很多问题还没彻底解决,也一直是风险理论研究的热点之一。自从Gerber and Shiu(1998)引入Gerber-Shiu折现罚金函数以来,非常非常多的学者致力于研究一定条件更新模型的Gerbet-Shiu折现罚金函数,这些条件如：对索赔分布有限制或者对索赔间隔分布有假设等等。Gerber-Shiu折现罚金函数融合了破产时间、破产前余额、破产后赤字这三个最重要的精算诊断量,在风险理论研究中占关键主导地位。第四章受Gerber and Shiu(2005)启发,我们考虑了索赔时间间隔服从相位分布的Sparre Anderson风险模型的Gerber-Shiu折现罚金函数,它包含了Gerberand Shiu(2005)考虑的广义Erlang(即分布服从可以参数不同的指数分布的卷积)模型,相位分布在所有分布类中是稠密的(即任给一个分布,都可以构造一列相位分布依分布收敛于它).利用风险余额过程和由相位产生的潜在马氏链的二元马氏性,我们用一种全新的方法证明了Gerber-Shiu函数满足的积分-微分方程。我们推广差分到矩阵函数,进而得到了Gerber-Shiu函数的拉普拉斯变化式,以及当索赔服从有理分布类时的Gerber-Shiu函数的精确表达式。同时给出了数值例子。论文最后,类似地讨论了不带扰动的Sparre Anderson(更新)风险模型的Gerber-Shiu函数。通过具体数值例子,很显然可以看出带扰动模型和不带扰动模型有相似之处也有很多差异。