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导子和同态是环上两类基本而重要的映射,Jordan同态和多重导子已被广泛研究.本文讨论了环上的多重映射,一方面,我们引入了Jordan多重同态,多重同态和多重反同态的概念,利用布尔同态给出了Jordan多重同态的结构,进而说明了Jordan多重同态,多重同态和多重反同态是等价的概念.同时给出了一些特殊环上布尔同态的一般形式.另一方面,我们引入了(n,m)-导子同态和布尔n-导子的概念,利用布尔n-导子和m-同态给出了(n,m)-导子同态结构的刻画.设R1,…,Rn,R和S是环,且在无特殊说明的情况下,本文提到的环都是有1环.在第一章中,我们介绍了背景知识以及文中涉及到的基本概念和记号.在第二章中,我们引入了Jordan多重同态,多重同态和多重反同态的概念.Jordann-重同态可以看成一个n-元映射,其中固定任意n-1个变量后,关于余下的一个变量是Jordan同态.同样的,n-重同态和n-反重同态也可以类似考虑.定义2.1.2称Jordann-重同态f：R×…×R→S是可换序的,如果对任意的a1,…,an∈R及n阶对称群的元素σ,有f(a1,...,an)=f(aσ(1),...,aσ(n))可换序Jordan2-重同态也被称为对称Jordan双同态.定义2.1.3称同态Φ：R→S为布尔同态,如果对任意的x∈R,有Φ(x)=Φ(x)2.定义2.1.5设映射Φi：Ri→S,i=1,2.(1)称Φ1,Φ2是交换的,如果对于任意的(a,b)∈R1×R2,有(?)1(a)(?)2(b)=(?)2(b)(?)1(a).(2)称Φ1,Φ2是正交的,如果对于任意的(a,b)∈R1×R2,有(?)1(a)(?)2(b)=(?)2(b)(?)1(a)=0.利用布尔同态我们给出了Jordan双同态的结构,得到了下面的结果.定理2.1.1设f是R1×R2到S的映射,则f是Jordan双同态当且仅当存在交换的布尔同态Φ：R1→S,ψ：R2→S,使得f=Φ*ψ.进一步,当Φ(1)=ψ(1)时,f有唯一分解.推论2.1.1设f是R×R到S的映射,则f是对称Jordan双同态当且仅当存在唯一的布尔同态Φ：R→S,使得f=Φ*Φ.由Jordan双同态的结构出发,我们给出了Jordan多重同态结构的刻画,得到了下面的结果.定理2.1.2设f是R1×…×R。到S的映射,则f是Jordann-重同态当且仅当存在两两交换的布尔同态Φi：Ri→S,i∈{1,…,n},使得f=Φ1*…*Φn.进一步,当Φ1(1)=…=Φn(1)时,f有唯一分解.推论2.1.2设f是R×…×R到S的映射,则f是可换序Jordan n-重同态当且仅当存在当存在唯一的布尔同态Φ：R→S,使得f=Φ*…*Φ.得至Jordan a-重同态的结构后,我们说明了Jordan多重同态,多重同态和多重反同态是等价的概念.定理2.2.1设f是R1×…×R。到S的映射,则f是Jordann-重同态当且仅当f是n-重同态当且仅当f是n-重反同态.在第三章中,我们首先引入了导子同态和布尔导子的概念.导子同态可以看成一个2-元映射,其中固定前一个变量后,关于后一个变量是同态,固定后一个变量后,关于前一个变量是导子.定义3.1.2称导子Φ：R→S为布尔导子,如果对任意的x∈R,有Φ(x)=Φ(x)2.利用布尔导子我们给出了导子同态的结构,得到了下面的定理.定理3.1.1设f是R1×R2到S的导子同态,Z(S)表示S的中心.若R1×{1}的像是有1环,则存在布尔导子Φ：R1→S和环同态λ：R2→Z(S),使得f=Φ*λ.进一步,若S中单位元有原像,则f有唯一分解.通过讨论特殊环上导子同态的一般形式,我们得到了下面的定理.定理3.1.2若S是半素环,则R1×R2到S的导子同态必为零.随后我们引入了(n,m)-导子同态和布尔n-导子的概念.(n,m)-导子同态可以看成-个n+m-重映射,其中固定任意n+m-1个变量后,关于余下的变量是导子或者同态.定义3.2.2称n-导子Φ：R1×…×Rn→S为布尔n-导子,如果对任意的(x1,…,xn)∈R1×…×Rn.,有(?)(x1,...,Xn)=(?)(x1,...,Xn.)2.利用布尔n-导子和m-同态我们给出了(n,m)-导子同态结构的刻画.定理3.2.1设f是R1×…×Rn+m到S的(n,m)-导子同态,若S的单位元有原像,则存在唯一的布尔n-导子Φ：R1×…×Rn→S和m-同态λ：Rn+1×…×Rn+m→Z(S),使得f=Φ*λ.