稳定性理论是微分方程，时滞微分方程理论研究中的一个基本而又重要的研究课题。本文主要研究了几类不等式和微分方程，时滞微分方程稳定性。首先推广了几类积分不等式，并利用积分不等式对李雅普诺夫函数V(t,x)的限制条件作了改进，研究了微分方程dx/dt= f(t,x)零解的稳定性，一致稳定性及渐近稳定性，并推广了微分方程dx/dt= f(t,x)零解稳定性的若干判定定理；其次，推广了一类时滞微分差分不等式，并利用时滞微分差分不等式研究了几类时滞微分方程零解的稳定性，推广了已有文献的结果。最后，研究了微分方程dx/dt= f(t,x)零解关于部分变元的渐近稳定性，推广了微分方程零解关于部分变元渐近稳定性的若干判定定理．全文分为三章： 第一章：关于几类积分不等式的推广及其在稳定性理论中的应用。主要介绍了几类积分不等式，并利用积分不等式研究了微分方程dx/dt= f(t,x)零解的稳定性，一致稳定性及渐近稳定性。 第二章：关于时滞微分差分不等式的推广及其应用。主要介绍了几类时滞微分差分不等式，并利用时滞微分差分不等式研究了时滞微分方程零解的稳定性。 第三章：微分方程关于部分变元的渐近稳定性。通过利用Lyapunov函数减弱并改进有关条件，去掉f(t,x)有界的假设，得到微分方程dx/dt= f(t,x)零解关于部分变元渐近稳定性定理。