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Banach空间中积分—微分方程解的存在性及单调迭代方法

来源 :山东师范大学 | 被引量 : 0次 | 上传用户：ponny2006

【摘 要】

：

该文在第一章考虑如下形式的Banach空间E中二阶混合型积分-微分方程的初值问题:u″(t)=f(t,u(t),u′(t),(Tu)(t),(Su)(t)),(1.2.1)u(0)=u,u′(0)=u1,(1.2.2)其中t∈J=[0,n],0

【作 者】

：

于欣妍 

【机 构】

：

山东师范大学

【出 处】

：

山东师范大学

【发表日期】

：

2004年期

【关键词】

：

积分-微分方程 单调迭代技巧 上下解 正规锥 正则锥 弱收敛 弱序列完备 

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论文部分内容阅读

该文在第一章考虑如下形式的Banach空间E中二阶混合型积分-微分方程的初值问题:u″(t)=f(t,u(t),u′(t),(Tu)(t),(Su)(t)),(1.2.1)u(0)=u<,0>,u′(0)=u1,(1.2.2)其中t∈J=[0,n],0k(t,s)u(s)ds,(Su)(t)=∫<,0>h(t,s)u(s)ds,k∈C[D,R+],h∈C[J×J,R+],D={(t,s)∈J×J:t≥s},k<,0>=(max<,(t,s)∈D> k(t,s),h<,0>=max<,(t,s)∈J×J>h(t,s).在E中由锥P引进偏序.下面我们列出主要假设:(H1)存在v<,0>,w<,0>∈C<1>[J,E]∩C<2>[J,E]使得v<,0>(t)≤w<,0>(t),且v<,0>(t)≤w<,0>(t),Vt∈J.并且v<,0>(t),w<,0>(t)分别是初值问题(1.2.1)-(1.2.2)的下解和上解,即v"<,0>≤f(t,v<,0>,v<,0>,Tv<,0>,Sv<,0>),Vt∈Jv<,0>(0)=u<,0>,v<,0>(0)=u<,1>w"<,0>≥f(t,w<,0>,w<,0>,Tw<,0>,Sw<,0>),Vt∈Jw<,0>(0)=u<,0>,w<,0>=u<,1>.(H3)存在常数M≥0,M<,1>>0,N≥0使得f(t,u,v,w,z)-f(t,<->u,<->v,<->w,<->z)≥-M(u-<->u)-M<,1>(v-<->v)-N(w-<->w),Vt∈J,其中v<,0>(t)≤<->u≤u≤w<,0>(t),v<,0>(t)≤v≤v≤w<,0>(t),(Tv<,0>)(t)≤w≤w≤(Tw<,0>)(t),(Sv<,0>)≤z≤z≤(Sw0)(t).(H3)存在常数C<,i>≥0,(i=1,2,3,4),使α(f(J,V<,1>,V<,2>,V<,3>,V<,4>))≤c<,1>α(V<,1>)+c<,2>α(V<,2>)+c<,3>α(V<,3>)+c<,4>α(V<,4>)其中V<,i> E是有界集,i=1,2,3,4,α为E中有界集的Kuratowski非紧性测度.我们考虑下解小于等于上解的情形,这里首先证明了一个比较定理,然后利用非紧性条件并借助单调迭代技巧和锥理论得到了初值问题(1.2.1)-(1.2.2)的最小解、最大解的存在性.其主要结果如下:定理1.3.1 设E是实Banach空间,P是正规锥且条件(H1),(H2)和(H3)满足.假定不等式2(a+1)[(c<,1>+2c<,2>+c<,3>k<,0>+2M)a+(c<,4>h<,0>+2Nk<,0>)a<2>+M<,1>]<1和Nk<,0>(1/M<,1><3>+a/M<,1><2>+aea>/M<,1>)+M(1/M<,1><2>+aea>/M<,1>)<1,成立,则初值问题(1.2.1)-(1.2.2)在[v<,0>,w<,0>]中必具有最小解和最大解<->u,u<*>∈C<2>[J,E]并且由u<,n>(t)=F<,n-1>(t)+<∞>∑<,i=1>(-1)∫<,0>K<,i>(t,s)F<,n-1>(s)ds,Vt∈Jw<,n>(t)=G<,n-1>(t)+<∞>∑<,i=1>(-1)∫<,0>K<,i>(t,s)G<,n-1>(s)ds,Vt∈J其中K<,1>(t,s)=M(t-s)+M<,1>+N∫<,s>(t-r)k(r,s)drK<,i>(t,s)=∫<,s>K<,1>(t,r)K<,i-1>(r,s)dr,V(t,s)∈D,(i=2,3…)F<,n-1>(t)=u<,0>+(M<,1>u<,0>+u<,1>)t+∫<,0>[(t-s)(f(s,v<,n-1>(s),v<,n-1>(s),(Tv<,n-1>)(s),(Sv<,n-1>)(s))-Mw<,n-1>(s)-N(Tv<,n-1>)(s))-M<,1>v<,n-1>(s)]ds G<,n-1>(t)=u<,0>+(M<,1>u<,0>+u<,1>)t+∫<,0>[(t-s)(f(s,w<,n-1>(s),w<,n-1>(s),(Tw<,n-1>)(s),(Sw<,n-1>)(s))-Mw<,n-1>(s)-N(Tw<,n-1>)(s))-M<,1>w<,n-1>(s)]ds确定的迭代序列{v<,n>(t)}和{w<,n>(t)}在J上分别一致收敛于<->u(t)和u<*>(t),且在J上有v<,0>(t)≤v<,1>(t)≤…≤v<,n>(t)≤…≤<->u(t)≤…≤u<*>(t)≤w<,n>(t)≤…≤w<,1>(t)≤w<,0>(t),Vt∈J.定理1.3.2 设E是实Banach空间,P是正则的且条件(H1),(H2)满足.并且2(a+1)[(c<,1>+2c<,2>+c<,3>k<,0>+2M)a+(c<,4>h<,0>+2Nk<,0>)a<2>+M<,1>]<1对任何r>0,集合f(J,B<,r>,B<,r>,B<,r>,B<,r>)有界,这里B<,r>={x∈E:‖x‖≤r}.那么定理1.3.1的结论依然成立.该文在第二章考虑弱<*>拓扑意义下二阶Volterra型积分-微分方程的周期边值问题PBVP :-u″=f(t,u,Tu),f∈C[I×E<*>×E<*>,E<*>](2.1.1)u(0)=u(2π),u′(0)=u′(2π).(2.1.2)其中I=[0,2π],f∈C[I×E<*>×E<*>,E<*>],(Tu)(t)=∫<,0>k(t,s)u(s)ds,k∈C[D,R<+>],D={(t,s)∈I×I:t≥s},k0=max<,(t,s)∈D> k(t,s).这里通过直接给出辅助线性问题的解的积分表达式,从而省去了其隐式形式.除此以外,文中考察了与参考文献[7]不同的下、上解定义下的下解小于等于上解及上解小于等于下解的两种情形.文中给出的主要假设有:(H1)v<,0>,w<,0>∈C<2>[I,E<*>],v<,0>(t)≤w<,0>(t),t∈I,并且对Vt∈I,-v"<,0>≤f(t,v<,0>,Tv<,0>),v<,0>(0)≤v<,0>(2π),v<,0>(0)≥v<,0>(2π);-w"<,0>≥f(t,w<,0>,Tw<,0>),w<,0>(0)≥w<,0>(2π),w<,0>(0)≤w<,0>(2π).(H2)v<,0>,w<,0>∈C<2>[I,E<*>],w<,0>(t)≤v<,0>(t),t∈I,并且对Vt∈I,-v"<,0>≤f(t,v<,0>,Tv<,0>),v<,0>(0)=v<,0>(2π),v<,0>(0)≥v<,0>(2π);-w"<,0>≥f(t,w<,0>,Tw<,0>),w<,0>(0)=w<,0>(2π),w<,0>(0)≤w<,0>(2π).(H3)对Vu,v∈[v<,0>,w<,0>],u≤v,存在M,N>0使得f(t,v,Tv)-f(t,u,Tu)≥-M(v-u)-N(Tv-Tu),这里Tv<,0>≤Tu≤Tv≤Tw<,0>.(H4)对u,v∈[w<,0>,v<,0>],u≤v,存在M,N>0,使得f(t,v,Tv)-f(t,u,Tu)≤M(v-u)+N(Tv-Tu),这里Tw<,0>≤Tu≤Tv≤Tv<,0>.(H5)f:I×E<*>×E<*>→E<*>并且f是连续的,即当x<,n>→x<,0>时,f(t,x<,n>,Tx<,n>)→f(t,x<,0>,Tx<,0>),Vt∈I.文中首先给出了两个比较定理,然后采用单调迭代方法和半序方法得出以下两个主要结论:定理2.3.1 设E<*>是可分的,锥P<*>是正规的,假设(H1),(H3),(H5)成立,并且M+2πNk<,0>).(M<,1>)/2π},2πNk<,0>,w<,0>]中存在单调序列{v<,n>(t)},{w<,n>(t)},使得lim<,n→∞>v<,n>(t)=ρ(t),lim<,n→∞>w<,n>(t)=γ(t),在I上依E<*>中范数一致成立.这里ρ(t),γ(t)分别是PBVP(2.1.1)-(2.1.2)的最小解和最大解.定理2.3.2 设E<*>是可分的,锥P<*>是正规的,假设(H2),(H4),(H5)成立,并且4π<2>(M+2πNk<,0>)≤1,2πNk<,0>,v<,0>]中存在单调序列{w<,n>(t)},{v<,n>(t)},使得lim<,n→∞>w<,n>(t)=ρ(t),lim<,n→∞>v<,n>(t)=γ(t),在I上依E<*>一致地成立.这里ρ(t),γ(t)分别是PBVP(2.1.1)-(2.1.2)的最小解和最大解.

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