逆散射问题是出现在工程领域里的一类重要的反问题，其任务是利用散射场的部分信息（如其远场数据）来探测散射体的信息。在求解逆散射问题时，一类重要的方法就是探测法，即首先利用远场数据来构造边界指示函数，利用指示函数中的探测点逼近散射体边界时指示函数会爆破这一性质来重构散射体的边界。这个过程中很重要的一步就是利用Herglotz波函数逼近基本解，把远场数据首先转化为近场数据。利用Herglotz波函数逼近基本解是一个典型的不适定问题，它提供了Runge逼近的一个有效的数值实现方法。由于基本解的性质，逼近的精度对于探测法的数值结果有很重要的影响。另一方面，这种逼近精度还依赖于逼近的区域的几何形状。选取不同的锥形区域来逼近散射体的边界点是探测方法中要解决的另一个核心问题。　　 由上述问题的驱动，本文的主要任务是利用Herglotz波函数来逼近Helmholtz方程的基本解，以得到Runge逼近的有效实现。本文主要研究了逼近基本解过程中影响数值精度的因素，包括逼近区域的凹凸性和无限维空间逼近精度对基本解的逼近精度的影响，给出了逼近的数值实现过程。基于对基本解性质的分析，我们探索性地给出了改进逼近精度的方法，以及相应的数值结果。基本的改进思想是利用正弦和余弦函数带有不同实值密度函数的组合来分别逼近基本解的实部和虚部，这个方法的本质实际上是对基本解的实部和虚部分别作Fourier展开。和已有的把整个复值基本解用带有一个复值密度函数的展开方法相比，该方法的优点是取消了基本解的实部和虚部逼近时密度函数之间人为的约束关系。由于基本解只有实部是具有爆破性质的，这种分开的逼近避开实部逼近的误差对虚部逼近的影响，得到了比较好的数值结果。为了更清楚地体现改进结果，我们对两种方法进行了比较。　　 本文的主要工作分为如下四个部分。　　 在第一章我们首先介绍了逆散射问题的背景和研究现状，在Helmholtz方程的模型下引出了基本解的Herglotz波函数的逼近问题（H·gz）(x)=Φ(x，z)，其中H是Herglotz波算子，Φ(·，·)是二维Helmholtz方程的基本解，gz(·)是待定的密度函数。　　 在第二章中，我们首先介绍了求解一般的线性不适定问题相关正则化解法，进而给出了用正则化方法近似求解gz时的误差估计，包括了正则化参数的选取和解有限维逼近两个因素对基本解逼近精度的影响。　　 第三章对已有的用Herglotz波函数直接逼近基本解的数值实现进行了细致的分析，导出了这种逼近方法实现中造成误差的主要原因:它除了本质上求解第一类积分方程的不适定性外，基本解实部和虚部同时逼近时密度函数之间的约束关系导致了实部奇性逼近时的大误差对虚部逼近的影响。由于问题的不适定性，我们同时研究了求解正则化方程时正则化参数的选取问题。　　 在第四章中，基于第三章的分析，我们提出了改进逼近的方法:即分别逼近基本解的实部和虚部，并与第三章研究的已有的逼近的数值结果进行了比较。另外，由于在求解逆散射问题的探测方法中，基本解的Runge逼近问题是和锥形区域的选取联系在一起的，在这里我们还研究了另一种构造锥形域的方法。这个几何上的考虑为本文提出的改进的Runge逼近用于具体的逆散射问题提供了实现的基础。