【摘 要】
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本学位论文研究了几类随机微分方程(SDEs)和随机偏微分方程(SPDEs)的光滑密度存在性和遍历性.关于遍历性,我们证明方程解存在唯一的不变测度.关于解的光滑密度存在性,借助于M
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本学位论文研究了几类随机微分方程(SDEs)和随机偏微分方程(SPDEs)的光滑密度存在性和遍历性.关于遍历性,我们证明方程解存在唯一的不变测度.关于解的光滑密度存在性,借助于Malliavin分析,我们证明其Malliavin协方差矩阵逆的行列式的各阶矩都存在. 第一部分研究α-稳定过程驱动的随机耗散方程的遍历性.我们证明了解的存在唯一性,通过Galerkin逼近的方法获得了不变测度的存在性,最后给出了方程解的转移半群的强Feller性和不可约性. 第二部分研究的是带马氏切换的随机微分方程.在一致H(o)rmander条件下,我们利用Malliavin分析证明了方程的解存在光滑密度.进一步地,运用Bismut公式证明了强Feller性.并在一些合理的假设条件下获得了转移半群具有不可约性,由此得到了遍历性. 第三部分研究的是带马氏切换的带跳随机微分方程.类似于第二部分的研究,我们研究了Malliavin分析.在一致H(o)rmander型条件下,我们获得了方程解的光滑密度的存在性. 最后一部分,我们研究了空间齐次的随机偏微分方程.对于给定的点(t,x1)...(t,xn),t>0,在系数非退化和正则性条件下,利用Malliavin分析,我们证明了随机向量u(t,x):=(u(t,x1),...,u(t,xn))有光滑的联合密度,并在一定条件下,获得了此密度为严格正.
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