对于S4(1)中具有常数量曲率的连通紧致极小超曲面M3，我们通过对主曲率的重数分类讨论，已经知道具有常数量曲率的连通紧致极小超曲面M3的数量曲率R为0，3，6。并且极小超曲面M3一定是等参超曲面。因此，我们可以对于S4(1)中具有常数量曲率的连通紧致极小超曲面M3进行分类，并且知道极小曲面M3一定为赤道球面，Clifford极小超曲面，Caftan极小超曲面之一。　　 本文先在S4(1)中具有常数量曲率的完备连通极小子流形M3的Gauss-Kronecker曲率处处不为0的情况下，讨论极小子流形M3的数量曲率的取值情况。我们结合局部分析的方法和广义强极值原理，采用对一些几何量取极限的方法来讨论。首先，我们对于主曲率在任取点处的极限值的重数进行讨论，排除了一些不利于分析的情况，并证明了在完备连通极小子流形M3的Gauss-Kronecker曲率处处不为0，且M3的数量曲率小于3情况下，M3的三个主曲率的极限值必互不相同。在此种情形下，我们将△算子作用在一些函数上，可以得到Gauss-Kronecker曲率的极限取值为0。进一步，我们可以用参数把主曲率的极限值表示出来，根据参数的取值得出第二基本形式二阶导数极限的取值。最后，我们利用广义强极值原理得出的结论，来分析参数的取值，得出数量曲率的取值。因此，我们论证了当S4(1)中具有常数量曲率的完备连通极小子流形M3的Gauss-Kronecker曲率处处不为0时，M3的数量曲率一定为0或3。　　 更进一步，我们考虑S4(1)中具有常数量曲率的完备连通极小子流形M3的普遍性质。在完备极小子流形的情况下，我们试图推广紧致极小子流形上的一些结果。对完备的极小子流形，我们先运用广义强极值原理，对极小流形M3上的一些几何量取极限，将问题转化成对于这些极限值的估计。在对于这些几何量的极限值进行估计的过程中，我们运用了类似局部分析的方法，讨论分析了M3上第二基本形式二阶导数极限的取值。在此过程中，将第二基本形式二阶导数极限的取值问题简化成线性方程的解的问题。通过对第二基本形式二阶导数极限的取值的讨论，我们证明了具有常数量曲率的完备连通极小曲面M3的数量曲率R只能取0，3，6。