【摘 要】
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近几年,分数阶拉普拉斯算子方程解的研究已经引起了数学家们的极大兴趣.尤其是它的非线性方程.事实上,分数阶拉普拉斯算子在许多领域都有具体的应用,如优化、金融、变相分层、反常扩散等.本文主要利用变分方法,山路引理,对称山路引理的变形等临界点理论,得到含非局部算子的椭圆方程的正解,负解,变号解及无穷多变号解的存在性的结果.主要包括以下四章:第一章主要介绍了分数阶拉普拉斯算子方程的研究现状和一些本文中常用
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近几年,分数阶拉普拉斯算子方程解的研究已经引起了数学家们的极大兴趣.尤其是它的非线性方程.事实上,分数阶拉普拉斯算子在许多领域都有具体的应用,如优化、金融、变相分层、反常扩散等.本文主要利用变分方法,山路引理,对称山路引理的变形等临界点理论,得到含非局部算子的椭圆方程的正解,负解,变号解及无穷多变号解的存在性的结果.主要包括以下四章:第一章主要介绍了分数阶拉普拉斯算子方程的研究现状和一些本文中常用符号及基础知识.第二章讨论了如下非局部椭圆方程:(?)其中(?)为分数阶拉普拉斯算子定义如下(?),在适当的条件下,利用山路定理的变形,我们可以得到非平凡解的存在性.第三章讨论了含非局部算子的椭圆方程的正解、负解、变号解.我们主要依赖于文献[5]中的三个临界点定理证明该问题.第一个是山路定理的变形,更准确的说,使用形变引理,推导了锥上的山路定理的变形.第二个临界点定理是山路定理的变号形式,它保证了变号解的存在性.第三个临界点定理是对称山路定理.以确保无穷多高能量变号解的存在性.第四章讨论了含非局部算子的椭圆方程的无穷多变号解.利用邹文明给出的变号临界点定理,在一些适当的条件下,我们可以得到该问题无穷多变号解的存在性.
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