【摘 要】
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Sine-Gordon方程可以用于描述某些重要的物理模型和现象,例如超导传输系统中横向电磁波的传播模型、耦合的同轴钟摆模型以及水晶错位现象.而空间分数阶sine-Gordon方程具有空间方向上的非局部效应,是经典sine-Gordon方程的推广.另外,通过引入延迟,微分方程能更准确地拟合一些具有历史记忆的模型和自然现象.因此在本文中,我们研究具分布型延迟的空间分数阶sine-Gordon方程.由于
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Sine-Gordon方程可以用于描述某些重要的物理模型和现象,例如超导传输系统中横向电磁波的传播模型、耦合的同轴钟摆模型以及水晶错位现象.而空间分数阶sine-Gordon方程具有空间方向上的非局部效应,是经典sine-Gordon方程的推广.另外,通过引入延迟,微分方程能更准确地拟合一些具有历史记忆的模型和自然现象.因此在本文中,我们研究具分布型延迟的空间分数阶sine-Gordon方程.由于这样复杂的方程的解析解往往是难以求得的,所以我们将构造用于求解其初边值问题的数值方法.另外,分布型延迟和空间分数阶导数作为两种非局部作用,其数值格式的计算量往往十分巨大.因此我们还对其设计了相应的快速算法.在第一章,我们首先介绍了空间分数阶sine-Gordon方程的物理意义和分布型延迟微分方程的应用背景,接着分别概述了它们的研究现状,并以此导出了本文的研究动机,最后阐述了本文的主要研究内容.在第二章,针对具分布型延迟的空间分数阶sine-Gordon方程的一维和二维初边值问题,我们构造了一类单参方法.对于一维问题,我们理论上证明了该数值方法是时空二阶收敛的,并通过引入带Strang循环预估子的预处理共轭梯度（PCG）方法,得到了PCG单参格式.对于二维问题,为了降低高维问题带来的计算量,我们使用交替方向隐式（ADI）技巧将其转换成一系列一维问题,从而得到了ADI单参方法.理论分析表明该方法是时空二阶收敛的.类似于一维情形,我们使用带Strang循环预估子的PCG方法加速ADI单参方法,得到了PCG-ADI单参格式.最后,我们用数值实验验证了所构造数值格式的收敛阶和计算效率.在第三章,为了减少离散分布型延迟项所带来的计算量,我们采用变换技巧,将具分布型延迟的空间分数阶sine-Gordon方程变换成与其等价的具离散型延迟的耦合空间分数阶sine-Gordon方程.针对一维问题,我们构造了时间二阶空间四阶的变换紧致差分格式,并理论上证明了其收敛性.对于二维问题,通过引入ADI技巧,我们对其构造了ADI变换紧致差分格式.理论分析表明该格式在时间方向和空间方向分别是二阶和四阶收敛的.观察到在变换紧致差分格式和ADI变换紧致差分格式的计算过程中存在许多具有相同Toeplitz系数矩阵的线性方程组需要求解,我们使用Gohberg-Semencul公式将这些Toeplitz矩阵的逆显式地表示出来,并借助快速Fourier变换快速地得到方程的解.最后通过数值实验,我们验证了变换紧致差分格式、ADI变换紧致差分格式及其加速格式的精度和计算效率.在第四章,我们总结了本文对具分布型延迟的空间分数阶sine-Gordon方程研究的主要内容和创新点,分析了所提出数值算法的不足,并据此对今后进一步研究的内容和方向进行了详尽的探讨.
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