在随机过程理论中，关于极大值过程及相关量的研究是最引人关注的内容之一，是解决应用概率领域中许多问题的理论工具，在风险理论、排队论、高斯过程和高斯场、数理金融（门槛期权定价、信用产品）等方面得到了广泛的应用，并显示出十分重要的作用。本篇博士论文致力于极大值过程的分布以及相关量的研究，主要包含以下两个方面:　　Ⅰ.高斯顺序统计量的极大值过程的渐近尾分布（第2、3章）;　　Ⅱ.Sparre Andersen模型中的破产前索赔次数和破产时的联合密度。在高斯过程和高斯场的极值理论中，一个经典问题是关于P(sup[0,T] X(t)＞u)，(0.1)的计算，其中，T＞0是一个常数，X是一个高斯过程。因为只有少数几种特殊情况下才能给出(0.1)的显示表达式，所以近来的研究都集中在当u→∞时它的渐近尾分布。Pickands[41]提出了一个自然而优雅的方法来计算这种渐近。直到今天，他的方法已经被推广到一般的高斯过程，甚至包括定义在无穷维参数集的高斯场，见Albin and Choi[3]，Debicki[20]和Piterbarg[42]。特别地，当对称平稳高斯过程X的方差函数σ2X(t)=Var(X(t))和协方差函数Cov(X(s)X(t))满足一定条件时，Piterbarg[42]中的定理D.2和D.3表明P(sup[0,T]X(t)＞u)=Const uβΨ(u)(1+o(1))，asu→∞，其中，β∈R，Ψ(x)=P（N＞x）是标准正态随机变量的尾分布函数。更多的推广可以参考[42]。　　近来，排队论和风险理论里的一些问题引发了关于定义在随机区间[0，T]上的极大值过程尾分布的研究。在这种情况下，T的变化会影响渐近尾分布，进而导致(0.1)的渐近结构有本质上的不同。当T具有正则变化尾时，Abundo[1]和Borst et al.[19]发现了这种现象。当T的尾分布是渐近韦伯分布时，Arendarczyk and Debicki[6]给出了类似的结论。　　在第2章，我们研究具有平稳增量的高斯顺序统计量在随机区间上的极大值过程的渐近尾分布。{X(t)，t≥0}是具有平稳增量、连续轨道和X(0)=0 a.s.的对称高斯过程。{Xi(t)，t≥0}，i=1，2，…，n，是n个独立同分布于{X（t),t≥0}的高斯过程。对于r=1，2，…，n，定义由X生成的第r个顺序统计量过程{X(r)(t)，t≥0}如下，X(1)(t)=min1≤i≤n Xi(t)≤…≤max1≤i≤n Xi(t)=X(N)（t).本章的目标是分析P(supt∈[0,T] X(r)(t)+ct＞u), asu→∞,(0.2)的渐近性质，其中c＞0，T是独立于X的非负随机变量。　　关于(0.2)的分析源自其最近在应用概率论的各种重要应用。特别地，在一维情形下（n=r=1），对于(0.2)的分析在很多领域扮演着重要的角色，例如:时间变化风险过程的破产概率（见[21]）和在混合排队论里稳定缓冲容量的研究（见[50]）。在这种背景下，最近[7，6，21，50]给出了当n=1且c≤0时对数渐近和精确渐近。然而，c＞0却很少被考虑。即使对于非常特殊的一维布朗运动X和韦伯型随机变量T（见[50]）也缺乏对于(0.2)的研究结果。我们在第2.3节给出当c＞0时关于(0.2)的研究结果。另一方面，当n＞1时，对于(0.2)的研究起源于功能性磁共振成像或多维时间变换风险过程同时破产，见如[17]。　　在古典情况下，即c=0，n=1，T是正常数，Berman[12]给出了一大类具有凸方差函数的高斯过程满足如下精确渐近表达:P（sup t∈[0,T]X(t)＞u)=P(X(T)＞u)(1+o(1))，as u→∞，　　在X的方差函数满足一定假设（见第2.2节的C1-C3）下，我们的首个结论表明:当T具有”重”尾情况下，顺序统计量过程X(r）并不影响(0.2)的渐近表达（见定理2.2）。为了看清顺序统计量过程的影响，我们考虑当T尾较定理2.2轻且一般方差函数是凸的情形。确切地说，我们分别在定理2.3和定理2.5得到了(0.2)的对数渐近和精确渐近，并在定理2.4发现Pc，T(r,u)=P(X(r)（T）+cT＞u(1+o(1))，asu→∞.(0.3)这意味着(0.2)是等价于顺序统计量过程X(r）(t)+ct在区间终点的尾分布。　　在第3章，我们探求平稳高斯顺序统计量在无界区间上的极大值分布的极限。一般方差函数满足一些简单假设（见第3.2节A1-A3）时，定理3.1指出limu→∞ P（sup t∈[0,xmr(u)]X(r)(t)≤u）=e-x在x∈[A，B]上一致成立，其中，0＜A＜B＜∞，mr(u)=(P(supt∈[0,1]X(r)(t)＞u))-1(1+o(1))，{X(r）(t)，t≥0}，r=1，2，…，n，是由平稳过程{X(t)，t≥0}生成的第r个顺序统计量过程。作为应用，我们利用得到的结论分析平稳高斯顺序统计量过程在随机区间上的渐近行为。　　极大值过程的另一个重要应用是在风险理论中关于破产理论的研究。在过去几十年里，风险理论里有大量关于破产时密度和分布的文献，见Asmussenand Albrecher[10]以及相关参考文献。在古典模型下，Seal[44]，Asmussen[9]，Drekic and Willmot[26]等给出了索赔服从指数分布时破产时的显示表达;Dickson and Willmot[23]给出了索赔服从混合Erlang分布时有限时间破产概率。在更新风险模型（Sparre Andersen风险模型）里，Dickson and Zhang[25]利用分析方法给出索赔时间间隔服从Erlang分布时的破产时密度公式;Borokov andDickson[14]考虑索赔服从指数分布时的情形，并利用概率方法得到破产时密度的无穷序列表达。　　同时，也有一些作者考虑破产前索赔次数的分布，这是因为它也是保险公司关心的一个重要信息。其中，最早的一个结论来自于Beard[11]。Egidio dosReis[27]考虑经典复合泊松模型下的破产前索赔次数的分布。另外，Stanfordand Stroi(n)ski[45]分析在古典风险模型下，索赔服从相位分布时，到破产为止恰有n次索赔的概率。　　最近，许多学者关注破产前索赔次数和破产时的联合密度。Landriault et al.[34]得到（Sparre Andersen模型中）当索赔服从指数分布时的破产前索赔次数和破产时的联合密度。Dickson[24]用概率方法得到了在古典风险模型下的破产前索赔次数和破产时的联合密度。随后，Frostig et al.[30]考虑一个更新风险模型，其中索赔大小和索赔时间间隔都服从相位分布，并利用它关于一个单服务器排队模型对偶的特性得到破产前索赔次数和破产时的联合变换。　　在第4章，我们考虑Sparre Andersen风险模型中破产前索赔次数和破产时的联合密度。在这个模型中，首次索赔时间间隔可以是任意的正随机变量，而接下来的索赔时间间隔具有无穷可分性，索赔大小服从Erlang分布。借用Borokov and Dickson[14]的想法，我们在第4.2节定理4.1推广了Landriault etal.[34]的结论，并给出一个计算破产前索赔次数和破产时的联合密度的公式。　　在第5章，我们考虑一个广义的Erlang(2)风险模型，其中，索赔大小可以是任意正的随机变量。首先，初始盈余为0时，利用拉格朗日展开定理，我们给出破产前索赔次数和破产时的联合密度的闭式表达。然后，我们利用概率方法得到，当初始盈余为正时，破产前索赔次数和破产时的联合密度表达式。最后，我们给出两个例子来检验得到的结论，一个是索赔服从指数，另一个是索赔服从混合Erlang分布。　　作为这部分的结尾，我们列出这篇论文的一些贡献如下。　　在第2章，我们探求具有平稳增量的高斯顺序统计量的极大值过程的尾分布渐近。在一般方差函数满足一定假设条件（见第2.2节C1-C3）下，我们第一个结论是:当T的尾很“重”时，顺序统计量过程X(r）并不影响渐近结果。第二，当T的尾比较“轻”时，我们分别在定理2.3和定理2.5给出(0.2)的对数渐近和精确渐近。第三，我们在定理2.4发现(0.5)渐近等价于P(X(r)（T）+cT＞u，这推广了Arendarczyk and Debicki[6]的定理3.1。　　在第3章，我们推广[35]的定理12.3.4至平稳高斯顺序统计量过程，并得到了类似的结论。作为副产物，我们在定理3.2得到平稳高斯顺序统计量过程在可积和正则变化区间上极大值过程的尾分布的渐近表达。　　在第4章，我们考虑一个一般的Sparre Andersen风险模型，索赔大小独立同Erlang(n)分布，并给出了破产前索赔次数和破产时间的联合密度，该结论推广了Landriault et al.[34]， Dickson[23]和Dickson et al.[24]。　　在第5章，我们给出在广义Erlang(2)模型下破产前索赔次数和破产时的联合密度，其中，索赔大小可以是任意正的随机变量。最后给出两个例子说明我们的结论，一个是索赔服从指数分布，另一个是索赔服从混合Erlang分布。