量子纠缠和不确定关系作为量子力学里的两大基本性质,从量子力学发展最初,一直被科学家们广泛地研究和讨论。纠缠这个概念最开始是被薛定谔提出用来反驳著名的EPR悖论。EPR悖论是由Einstein,Podolsky和Rosen提出,探讨量子局域性和量子力学的完备性之间的矛盾。薛定谔不接受量子力学是不完备的这一定论,为了解决EPR悖论,他引入’纠缠’这一概念,来解释现象:经典上互不关联的两个系统,Alice和Bob,在某种情况下,如果我对Alice做测量,也会影响Bob的状态,同样地,如果我对Bob做操作会影响Alice的状态。薛定谔还引入另外一个概念,EPR-Steering。比如,如果我对Alice做操作,系统Bob会受影响的话,我们就说Alice指导Bob。到了1964年,Bell从实验上证明了纠缠这一概念后,研究量子纠缠的科学家与日俱增。对于一个两体系统,人们在理论上定义了量子纠缠态和可分态。如果我对一个系统其中的任何一个子系统做操作,都不会对第二个系统产生影响的话,我们就说这个态是可分态。除此之外的,其它态,都定义为纠缠态。根据这个定义,人们发展了一系列从理论上和实验上来验证一个量子态是否为纠缠态。理论上的一些准则要求描述整个量子态的矩阵都是已知的,比如PPT准则,CCNR准则等等。对于2x2和2x3的系统,理论上已经证明了 PPT准则是必要且充分的条件。对于高维和多体系统,科学家们还未在理论上给出完美的答案。另一个问题是,在实际应用场景中,我们很有可能不知道或者只知道一小部分矩阵元素。为了解决这个难题,科学家们提出了一系列实验室用来探测纠缠的方法,比如纠缠见证,贝尔不等式等等。随着量子信息的快速发展,量子纠缠作为一种重要的资源,被广泛地应用在量子密码、量子通信和量子计算上。科学家们不管是从理论上还是实验上,提出了很多种方法来做纠缠探测。但是依然存在某些量子纠缠态不能被探测到。在本论文中,我们提出一种新的解决方案来探测纠缠态。相比起于线性的纠缠见证,我们找到了一个新的方法,利用不确定关系的结果来构造非线性因子。从理论上证明了该方案的优越性。不确定关系,作为量子力学的基本性质之一。目前最为广泛接受的不确定关系的表达式为:△M1△M2≥1/2|<ψ|[M1,M2]|ψ>|。此不等式想表达的意思为,若用M1和M2在这个系统ψ上做多次测量,那么他们的精度一定会大于某个值。这个值与这个量子态是有关的。从这个表达式我们可以看出,如果量子态ψ为M1或者M2或者[M1,M2]的本征态,上述不等式的左边或者右边就会为零,那么此不等式就失去了意义。我们的目的是想得到两个测量向量M1和M2之间的不确定关系的最小值,即边界值,这个边界值应该是一个与量子态无关的值。基于此想法,Deustch用熵来表达△M1,从而得到了一个与状态无关的不确定关系的边界值。但也存在一些问题,比如,虽然Deustch最后得出的边界值是一个与系统状态无关的值。但如果在实际计算中,为了计算的这个边界值,必须跑遍这个系统所有的量子态。由此可见,计算复杂度是没有减少的。为了解决这个问题,本论文第二章的目的是找一个与状态无关的不确定关系的边界值来描述测量向量之间的不确定关系,我们把乘法改为加法,从理论上计算了两个及两个以上的测量向量M1,M2,M3,...,Mn与状态无关的不确定关系的边界值。此边界值有数值表达式,理论上可以计算出来,计算复杂度大大降低。另外,在论文中,也与用熵来表达与状态无关的不确定关系的边界值相比较,在理论上发现,在某些情况下(测量向量数目很多的时候),此论文得到的与状态无关的不确定关系的边界值更大。这说明,在一些情况下,这篇论文中提出的下界是更优越的。文中提出了与状态无关的不确定关的边界值可以作为纠缠探测的一种方式。根据我前面的介绍,相比起一般的用线性的不等式来做纠缠探测,这里化为了非线性的准则。由于可分态和整个量子态都是凸集,从几何上来看,用非线性的向量去做纠缠探测是可以探测到更多的纠缠态的。在论文的第三章,我们构造了一个探测纠缠态的方法,用第二章得到的与状态无关的不确定关系的边界值来构造。在论文的第三章里,除开构造方法以外,我们也展示了一些用这个方法来探测到的数据。首先我们在理论上证明了,用与状态无关的不确定关系的边界值构造出来的纠缠判据和PPT准则的测试结果是一样的。由于第三章提出来的新判据更多的是想被用在实验上,所以随后,此论文对比了一些实验室测试的方法。实验上,人们通常最多测量三个正交方向,比如贝尔不等式,CHSH不等式等等,来判断量子态是否为纠缠态。但因为第二章里提出了三个及三个以上的测量向量的与状态无关的不确定关系的边界值,并在第三章用此发展了新的纠缠判据。那么是否有可能增加用四个非正交向量可以探测到三个正交的测量向量呢?在论文得第三章里,有关这部分的结论展示了出来。我们发现,四个以上的非正交测量可以探测到更多的纠缠态。由此可以推测,如果我们用更多的测量向量去测量这个系统,我们是很有可能探测到比四个非正交测量向量更多的纠缠态的。这个方法在实验上是可以实现的,我们接下来的想法也是把此方法用在实验上,再次验证我们的结论。除了用于纠缠探测之外,在本论文的第四章提出来,这个与状态无关的不确定关系的边界值也可以用来做量子操控的。在之前已经介绍了量子操控的有关概念,如果一个系统的有两个子系统Alice和Bob。这两个子系统相隔距离很远,理论上是没有任何经典关联的。如果我们对系统Alice做一次测量,Bob系统的量子态也受到了影响。我们就说Alice可以操控Bob。至此,这里就有几个概念,可操控性,纠缠和非局域性。他们是互不相同但又相互联系的。其中,可操控性的边界基于纠缠和非局域性之间。科学家们已经提出了很多理论想要来找到这种Alice操控Bob的量子态的例子,但到目前为止,大部分都是停留在理论构想或者几个单独的力资,没有实际的判据,可以直接用来判断一个量子态是否具有这种可操控性。得益于本论文第二章提出的与状态无关的不确定关系的边界值,在本论文第四章,用此结论发展了一个新判据,可以用来判断一个量子态是否具有可操控性,是由Alice操控Bob还是Bob操控Alice。除了理论上的新判据以外,一些示例也在第四章给出。综上,此论文总共分为四章。在论文的第一章,我介绍了关于量子纠缠的一些基本概念,针对基本概念,科学家们提出的一些纠缠判据,以及这些纠缠判据的优点和缺点各是什么。关于不确定关系,我也介绍了目前此方面的一些研究进展。科学家们提出了一些方法来量化与状态无关的不确定关系的边界值,但由于计算复杂度依然很高,我们还需找到其他的有效解决办法。基于这两方面目前的研究进展,我介绍了课题的来源和研究意义,以及大纲化的研究思路。在本论文的第二章中,提出并计算了与状态无关的不确定关系的边界值。之前一般研究的是两个测量向量之间的不确定关系,在第二章里,将结果拓展到了三个及三个以上,而且还大大降低了计算复杂度。另外,在论文中,在理论上发现,在某些情况下(测量向量数目很多的时候),此论文得到的与状态无关的不确定关系的边界值更大,相比起目前已知的用熵来量化不确定关系与状态无关的边界值的。在论文的第三章里,利用论文的第二章得出的不确定关系与状态无关的边界值来做新的纠缠判据。在理论上证明了其可行性,并和PPT准则的结果相比较。发现我们的PPT的结果是一样的。同时,也模拟了实验上的测量结果。相比起,一般实验上用贝尔不等式的做法:用两个或者三个正交的测量向量去探测,来判断是否为纠缠态。我们发现,用我们的新判据,使用四个非正交的测量向量可以探测到更多的纠缠态。如果推广的话,如果使用无穷多个测量向量去做探测,我们一定是可以探测到所有的纠缠态的。在接下来的计划里,会将论文提到的方法与实验相结合,从实验上验证我们方案的可行性。在论文的第四章里,拓展了第二章得到的不确定关系与状态无关的边界值的用处。利用此边界值,可以用来构造量子操控的新判据,并在第四章里给出了具体的示例。