基于格的公钥密码体制由于具有简单高效的线性运算、抗量子攻击、结构灵活多变的特性而被视为最具前景的后量子密码之一。目前,LWE和SIS两个难题假设是我们构造格公钥密码的最实用的格难题。可证明安全理论的提出和发展,解决了密码算法或协议依靠猜想设计并反复修补漏洞的缺陷,将破解密码算法或协议的难度规约到解决“极微本原”难题,从而可靠的保证方案安全性。本文通过对格公钥密码体制、LWE相关理论和可证明理论深入研究和分析,主要工作如下:首先,本文对格、LWE和可证明安全理论进行阐述,给出了三者之间的关系和构造密码方案的必要性,主要描述了可证明安全模型的基本定义、模型和证明方法论,以及针对LWE的三种攻击分析方法以便于设计方案时避免这种漏洞。其次,本文设计了两种基于LWE困难问题的可证明安全公钥加密方案。一是基于LWE的BGN类加密方案,本文结合原有的具有良好同态特性的BGN方案和针对二元矩阵加密的GHV方案的设计思路,将LWE嵌入到加密算法中,设计了一种针对p元矩阵加密的BGN类加密方案并证明其是CPA安全。二是基于LWE的多比特IBE方案,本文在研究单比特加密的ABB方案的基础上,对加密方案进行修改,提出一种多比特的加密方案,并证明在标准模型下是INDr-sID-CPA安全。再次,本文提出了一种改进的NTRU类数字签名方案并设计了两种基于R-LWE困难问题的可证明安全公钥密码体制。一是改进的新型NTRU数字签名方案,在不降低新方案安全性的同时,在计算复杂度的程度上较NTRUSign和NSS方案有一定的提高;二是基于R-LWE的NTRU类的数字签名方案,其是在改进的NTRU类数字签名方案基础上,将R-LWE嵌入到签名算法中,并证明新方案是EUF-ACMA安全的;三是基于R-LWE防篡改的加密方案,在LPR’2010方案的基础上,结合中国剩余定理设计一种针对多比特字符串的加密方案,最后给出其IND-CCA安全性证明。最后,本文构造了基于LWE的PIR协议和基于R-LWE的TPC协议。第一,利用基于LWE的BGN类CPA安全的公钥密码方案的Somewhat同态特性,用于构造实用的PIR协议应用场景;第二,利用基于R-LWE的公钥密码体制的高效安全性,用于构造两方保密比较协议应用场景,并利用模拟范例证明新方案在半诚实模型下是安全保密的,且可以推广到安全多方保密比较协议中去。