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设G为有限群，k(G)为G中元素共轭类的个数，πe(G)为群G中元素阶的集合。则存在非负整数k使得k(G)=|πe(G)|+k.我们称该群为co(k)群。Syskin在1980年提出著名猜想：在一有限群G中，若任何两个同阶元素均共轭，则G≌1，Z2，S3.P.Fizpatric，W.Feit和张继平分别在1985年，1988年独立地解决了Syskin猜想。当k=0时，上述定义的co(0)群，就是Syskin猜想里讨论的群。
又设Mi(G)={x∈G|o(x)=i，i∈πe(G)}，特别地设最高阶元所成集合M(G)=Mk(G)，其中，k=maxπe(G).Thompson曾经猜想，设G1，G2为有限群，假设|Mi(G1)|=|Mi(G2)|，则如果G1是可解群，那么G2也是可解群。本文主要讨论以下问题：
(1)满足一定条件的有限co(k)群的性质。(2)有限co(1)群的分类。(3)有限可解co(2)群的分类。(4)最高阶元素个数为4p，4p2的有限群。本文的主要结果为下面五个定理。定理A设G为有限co(k)群，N为G的可解正规子群，则G/N为co(i)群，0≤i≤k.定理BG为有限co(1)群当且仅当G同构于以下群之一：A5，L2(7)，S5，S4，A4，Hol(Z5)，Z3：Z4，D10，Z3，Z4.
定理C设G为有限可解群，则G为co(2)群当且仅当G同构于以下群之一：
Z2×Z2，Z6，D8，Q8，D14，Z7：Z3，Z7：Z6，Z15：Z4，S3×Z2，D18，Q8：Z3，(Z3×Z3)：Q8.定理D设G为有限群，如果G中最高阶元素个数为4p，p是素数，则G是可解群，除非G≌S5。定理E设G为有限群，如果G中最高阶元素个数为4p2，p是素数，则G是可解群.