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设G为有限群,k(G)为G中元素共轭类的个数,πe(G)为群G中元素阶的集合。则存在非负整数k使得k(G)=|πe(G)|+k.我们称该群为co(k)群。Syskin在1980年提出著名猜想:在一有限群G中,若任何两个同阶元素均共轭,则G≌1,Z2,S3.P.Fizpatric,W.Feit和张继平分别在1985年,1988年独立地解决了Syskin猜想。当k=0时,上述定义的co(0)群,就是Syskin猜想里讨论的群。
又设Mi(G)={x∈G|o(x)=i,i∈πe(G)},特别地设最高阶元所成集合M(G)=Mk(G),其中,k=maxπe(G).Thompson曾经猜想,设G1,G2为有限群,假设|Mi(G1)|=|Mi(G2)|,则如果G1是可解群,那么G2也是可解群。本文主要讨论以下问题:
(1)满足一定条件的有限co(k)群的性质。(2)有限co(1)群的分类。(3)有限可解co(2)群的分类。(4)最高阶元素个数为4p,4p2的有限群。本文的主要结果为下面五个定理。定理A设G为有限co(k)群,N为G的可解正规子群,则G/N为co(i)群,0≤i≤k.定理BG为有限co(1)群当且仅当G同构于以下群之一:A5,L2(7),S5,S4,A4,Hol(Z5),Z3:Z4,D10,Z3,Z4.
定理C设G为有限可解群,则G为co(2)群当且仅当G同构于以下群之一:
Z2×Z2,Z6,D8,Q8,D14,Z7:Z3,Z7:Z6,Z15:Z4,S3×Z2,D18,Q8:Z3,(Z3×Z3):Q8.定理D设G为有限群,如果G中最高阶元素个数为4p,p是素数,则G是可解群,除非G≌S5。定理E设G为有限群,如果G中最高阶元素个数为4p2,p是素数,则G是可解群.