分形方法为我们理解现实世界的现象提供了一种很好的确定性表述方法.分形插值可以看成是多项式插值和样条插值的一种推广,它不仅为我们提供了一种非常少见的不可微插值方法,同时也提供了构造光滑或分片光滑插值曲线曲面的一种新方法.本文就是在已有研究文献的基础上,主要研究了一类新的分形插值系统,即带有形状约束参数的有理分形插值系统.主要结果如下：一、基于迭代函数系统(IFS),借助于传统的经典三次样条函数φi(x)=pi(x)/qi(x),其中pi(x)是三次多项式,qi(x)是带有两个形状参数αi,βi的线性多项式,构造了一类新的仅仅基于函数值的C1连续的三次有理样条分形插值函数φs(x).探讨了在适当条件下,被插函数f∈C1和f∈C2时,插值误差的一致有界性,给出了有理分形插值函数φs(x)的误差估计公式；证明了误差常数C和C*的有界性.研究表明我们所构造的分形插值函数φs(x)关于形状参数αi,βi是稳定的.二、研究了三次有理样条分形插值函数φs(x)关于尺度因子si的灵敏度,证明了分形插值函数φs(x)关于尺度因子si的扰动误差是收敛的.三、曲线曲面的形状保持性质是曲线曲面造型中的一个重要研究课题,它具有广泛的现实意义.本文对于给定的形状数据,探讨了三次有理分形插值函数φs(x)的保形性,包括保单调性和保凸性.导出了分形插值曲线φs(x)保单调、保凸时尺度因子si和形状参数ai,βi所满足的充分条件,从而将对分形插值曲线φs(x)的保单调性、保凸性问题可以转化为对尺度因子si和形状参数αi,βi的约束问题,即转化为求解尺度因子si和形状参数αi,βi所满足的代数不等式问题.四、曲线曲面的形状约束和控制是曲线曲面造型中的一项基本任务,也是我们必须面对的一个重要课题.在现有分形插值的有关文献中,尚未见到这方面的论述.本文研究了当约束函数g(x)为分段线性或分段二次多项式时的分形插值曲线φs(x)的约束控制问题,包括对分形插值曲线φs(x)的上约束、下约束以及双边约束；给出了对分形插值曲线φs(x)进行形状约束时尺度因子si和形状参数αi,βi屈所满足的充分条件,将对分形插值曲线φs(x)的形状约束控制转化为对尺度因子si和形状参数αi,βi的约束控制.