【摘 要】
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本文主要研究了具有一般参数族左不变度量的闵可夫斯基平面的刚体运动群和具有典范联络的洛伦兹海森堡群上的Gauss-Bonnet定理.进一步探讨了具有典范联络的洛伦兹海森堡群中Ricci孤立子的存在性问题.首先,采用黎曼逼近和洛伦兹逼近的方法,分别对具有一般参数族左不变度量的闵可夫斯基平面的刚体运动群和具有典范联络的洛伦兹海森堡群定义了黎曼逼近和洛伦兹逼近,计算了相应的Levi-Civita联络、典范
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本文主要研究了具有一般参数族左不变度量的闵可夫斯基平面的刚体运动群和具有典范联络的洛伦兹海森堡群上的Gauss-Bonnet定理.进一步探讨了具有典范联络的洛伦兹海森堡群中Ricci孤立子的存在性问题.首先,采用黎曼逼近和洛伦兹逼近的方法,分别对具有一般参数族左不变度量的闵可夫斯基平面的刚体运动群和具有典范联络的洛伦兹海森堡群定义了黎曼逼近和洛伦兹逼近,计算了相应的Levi-Civita联络、典范联络以及曲率张量的具体表达式.给出了这两类李群中正则曲线的内蕴曲率、曲面的内蕴测地曲率以及曲面的远离特征点的内蕴高斯曲率的定义.计算并获得了这两类李群中对应的相关曲率的表达式.继而综合利用支配收敛定理和经典的Gauss-Bonnet公式,证明了相应版本的Gauss-Bonnet定理.这些结果丰富并完善了三维李群中Gauss-Bonnet定理的研究.其次,利用洛伦兹海森堡群中典范联络所蕴含的乘积结构以及洛伦兹度量的几何性质,构造了三类典范联络.分别计算并获得了这三类典范联络具体的表达形式,以及相应的曲率、Ricci张量和李导数的表达式.继而利用代数方法,精细刻画了 Ricci孤立子等式成立的条件,并最终找到了一类典范联络下的Ricci孤立子.
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