确定系统的线性二次(LQ)最优控制理论首先由Kalman在1960年创立[1]，迄今为止无论在理论还是应用方面都得到了极大的发展，在现代控制理论中占有中心的地位.从工程的实际背景出发，以前都是研究标准LQ最优控制问题，即Q≥0，R＞0.直到1998年[5]发现了随机LQ和确定LQ具有一些本质的差别，即对随机LQ最优控制而言，当D≠0时控制权因子R可以不定号，甚至可为负定，而最优消费泛函仍可适定.这一发现引发了随机不定号LQ问题的研究，得到了许多重要的成果，以X.Y.Zhou等人的成果最为显著.但是我们知道对于一个实际的物理系统的优化，各种约束条件是必不可少的，例如状态或控制满足某种要求等，如[12]讨论状态和控制满足积分二次约束的不定号随机LQ问题.　　在第一章，我们研究下面终端状态满足线性约束的不定号随机LQ控制问题.　　问题1:infu∈Uad{J(x0,u):=E∫T0[x(t)Q(t)x(t)+u(t)R(t)u(t)]dt},(1.14)s.t.dx(t)=[A(t)x(t)+B(t)u(t)]dt+[C(t)x(t)+D(t)u(t)]dw(t)，x(0)=x0∈Rn，(1.15)ai1x1(T)+ai2x2（T）+…+ainxn（T）=ξl，a.s.，(1.16)i=1，2.…,r.　　首先利用Ito公式把问题1转化为确定的优化问题2，再利用凸分析的Lagrange Multiplier定理得到了问题1和问题2存在最优线性状态反馈控制解的必要条件，即主要定理1.2.　　一般说来上述的必要条件不是充分条件.因此，当加强必要条件为R+DPD＞0，就得到了问题2存在最优控制的充分条件，见定理1.3.　　我们发现最优控制的形式与无约束随机LQ相同，但最优值比无约束LQ的多了一项-tr(λN).最后通过两个例子1.1-1.2说明了以上定理1.3的应用.在第二章我们讨论离散随机系统的有限时间H2/H∞控制.所谓H2/H∞控制就是寻找一个控制器u*T，将它代入系统不仅使闭环系统满足H∞指标，而且当最坏干扰v*T进入系统时u*T同时最小化H2消费泛函.所以H2/H∞控制是一种很重要的鲁棒控制器.张维海在连续时间随机H2/H∞控制研究中成果较突出.然而，离散随机系统H2/H∞控制的研究成果比较少.[21]讨论了系统含有可加外来信号这样一类特殊的离散随机系统的H2/H∞控制.在实际工程背景中，除了模型中含有可加干扰，噪声通常不仅依赖于状态而且依赖于外来干扰，所以很有必要考虑比[21]更一般的离散随机系统的H2/H∞控制.　　考虑如下离散随机系统{(t)x(t)+A0(t)x(t)w(t)+B1(t)v(t)+B0(t)v(t)w(t)+B2(t)u(t),z(t)=[C(t)x(t) D(t)u(t)],D(t)D(t)=I,t∈NT,x(0)=x0∈Rn.(2.13)　　首先，文中给出一个Riccati-型的非常有用的离散随机有界实引理(引理2.4)，它对研究离散随机系统的H∞，H2/H∞控制等问题起到关键的作用.　　其次，利用上节的有界实引理，得到本文主要结论（定理2.2），即离散随机系统的有限时间H2/H∞控制问题可解等价于四个耦合的差分Riccati方程(2.16)-(2.19)可解.　　值得高兴的是，以上四个耦合的矩阵方程(2.16)-(2.19)是可解的，这在工程应用中是非常有意义的工作.本章最后给出它的求解迭代算法，并举例说明了方法的有效性.另外,文章还给出H2，H∞和H2/H∞控制问题的统一处理方法(unified treatment).　　第三章研究离散随机系统无穷时间标准的线性二次最优控制问题.正如第一章所说，连续时间随机系统的LQ问题已经得到广泛的研究，并得到很重要的成果.相比之下.离散随机系统的LQ问题的成果不多，[22]解决了有限时间离散随机系统不定号LQ问题.但是直到目前，对无穷时间离散随机系统不定号LQ问题还没有得到很好的结果，由于最优控制u*的反馈稳定性要求增加了解决问题的难度.在这一章里，我们讨论状态和控制依赖于噪声的离散随机系统的无穷时间标准LQ最优控制问题，即要求Q≥0，R＞0.　　为了保证LQ问题存在最优反馈稳定控制解，我们需要引进离散随机系统的均方能稳和精确能观的概念（见定义3.2，定义3.3），这些基本概念在研究离散随机系统的H∞，H2/H∞控制问题等将起到重要的作用.同时研究精确能观的性质.　　在假设(H1):（A，B，A0，B0）均方能稳及(H2):（A，A0/Q1/2）精确能观测的条件下，利用有限时间逼近无穷时间的方法，通过研究有限时间广义微分Riccati方程的解的性质，得到无穷时间广义代数Riccati方程的解的性质（定理3.3）和最后的结论（定理3.4）.　　第四章讨论一类特殊的非线性随机不确定系统的鲁棒H∞滤波问题.随机系统的H∞滤波和控制问题越来越受到众多学者的关注，所谓H∞滤波（有限时间）就是通过量测输出设计一个估计器来估计未知的调节输出，同时保证从外来干扰到估计误差的L2增益小于给定的干扰抑制水平γ＞0.张维海在[26]给出了连续时间非线性随机系统的随机有界实引理(SBRL),通过解Hamilton-Jacobi inequality(HJI)得到非线性系统的H∞滤波[38].本文就是进一步研究由[38]所给出的一类非线性系统，当系统的线性项的参数阵带有不确定性，而非线性项在原点处满足一致Lipschitz条件时,这类非线性随机系统的鲁棒H∞滤波问题.得到H∞滤波问题可解的充分条件（定理4.1），并在一定条件下通过LMI得到滤波问题的解（见定理4.2），最后通过实例验证定理4.2的有效性.　　注:文章的第一章已刊登在《自动化学报》(EI)2006，Vol.32，No.2,pp.246-254.第四章发表在山东大学学报（理学版），2006，Vol.41，No.2，pp.8-14.第二，三章已被Proceedings of WCICA2006(EI)录用，并于2006，6发表.