在过去的二十多年里，倒向随机微分方程理论备受大家的关注。线性的倒向随机微分方程是由Bismut([6])1973年首次引入。1990年，Pardoux和Peng([37])首先证明了非线性倒向随机微分方程的存在唯一性。随后，倒向随机微分方程被广泛的应用于应用及理论方面的研究，特别是在金融数学领域。这篇论文旨在发展倒向随机微分方程和正倒向随机微分方程理论。　　 在过去的几十年中，虽然倒向随机微分方程理论得到了长足的进步，但是人们还是更多的研究1维倒向随机微分方程，而高维的倒向随机微分方程很少被人所研究。研究高维倒向随机微分方程的最大困难在于没有更加-般的比较定理。实值倒向随机微分方程的比较定理成为该领域比较经典的几个结果之一。该定理最早是由Peng([41])给出，随后Pardoux和Peng([38])以及E1 Karoui-Peng-Quenez([16])给出了更加一般的结果。比较定理告诉我们：当我们比较实值倒向随机微分方程的两个解得时候，我们只需要比较其生成元及终端值。1994年，在“拟单调条件下”，Christel和Ralf([12])证明了有限维及无穷维随机微分方程的比较定理。运用类似的方法，1999年，周([60])得到了在有限时间区间内的多维倒向随机微分方程的比较定理。2006年，运用导向随机生存性，Hu和Peng给出了多维倒向随机微分方程成立的充要条件。2009年，运用类似的“拟单调条件下”，Wu-和Xu([52])给出了多维正倒向随机微分方程的比较定理。在第二章，在没有“拟单调条件”的情形下，我们试着去讨论高维倒向随机微分方程的比较定理。我们还将讨论高维的、关于变量z二次增长的倒向随机微分方程，并将研究其对应的偏微分方程。　　 总所周知，在许多情形下，-个问题的可解性与某一正倒向形式的随机微分方程的可解性是等价的，然而这一形式的正倒向随机微分方程往往超出了现有的结果。另一方面，大家都知道，标准的Lipschitz条件并不能保证正倒向随机微分方程的可解性。因此，大家越来越清醒的认识到，对于这一问题的理解和研究需要更新的视角和观点，大家更加期盼能有一种统一的方法来解决这一问题。　　 到目前为止，基本上有三种方法去解正倒向随机微分方程：(ⅰ)压缩影像方法。这一方法最初是由意大利人Antonelli[2]提出，后来Pardoux和Tang([36])对这一方法给出了更加细致的解释，但这一方法只能解释当时间区间T相对小的情形。(ⅱ)四步框架法。这一方法最初是由Ma-Protter-Yong([30])给出。对于Markovian形式的正倒向随机微分方程，这一方法是第一个在任意时间区间上给出解得方法。其缺点是要求其系数需要满足一定的光滑性条件，以使得“部分耦合”的偏微分方程有经典解。(ⅲ)连续性方法。Hu-Peng[20]及Peng-Wu[45]所提出。后来Yong[54]发展了该方法。该方法可以去解决任意时间区间、非Markovian形式的正倒向随机微分方程。这一方法要求其系数需满足所谓的“单调条件”。这一条件完全的区别于其他的方法。关于这三种方法更加细致的解释可以参阅(cf.[33])。在这本书中将会解释这三种方法之间是不重合的。　　 第三章，参照[15]and[59]的方法，我们将会对一般的正倒向随机微分方程给出系统的分析。我们的主要工具是使得Yt=u(t，Xt)成立的“decoupling field”。我们需要强调u的一致Lipschitz性在证明过程中起了举足轻重的作用。我们将会给出所谓的“decoupling field”存在的充要条件。“decoupfing field”保证了正倒向随机微分方程的可解性。我们发现现有的所有的结果，都可以运用我们的结果给出解释，在线性正倒向随机微分方程、系数为确定的情形下，我们的条件也是必须的。　　 最优控制问题在实际问题当中拥有广泛的应用。在正想控制系统中，布朗运动作为噪声源的线性二次问题是非常著名的控制问题，关于这一问题的经典理论业已得到。最近，倒向线性二次最优控制问题越来越受到大家的关注，比如(Lim，Zhou([1]))。另一方面，这一问题在经济投资问题当中很容易被提出。例如，在金融市场中，当我们考虑用注入和撤出资金来对冲某一未定权益的时候，研究最优消费选择问题，很自然的就引入了倒向的随机控制问题。　　 这篇论文旨在研究高维倒向随机微分方程，正倒向随机微分方程及其应用。我们将会得到一类高维倒向随机微分方程的比较定理，得到高维的、生成元关于变量z二次增长、变量y线性增长的倒向随机微分方程的解得存在唯一性。我们还将研究在一般的非Markovian形式的正倒向随机微分方程的可解性。我们得到，现有的大部分的结果都可以用我们的结果给出解释。　　 本文共分五章，以下是本文的结构和得到的主要结论：　　 第一章：介绍从第二章到第五章我们讨论的问题，背景，及想法。　　 Chapter2：我们将研究一类高维倒向随机微分方程的比较定理，得到高维的、生成元关于变量z二次增长、变量y线性增长的倒向随机微分方程的解得存在唯一性定理2.3.4.(高维倒向随机微分方程的比较定理)设f满足假设2.3.对于任意T∈[0，T]，ξ1，ξ2∈L2(Ω，F，P)，(Y1，Z1)和(Y2，Z2)属于Lad2(Ω，C([0，T]，IR2))×Lad2(Ω，C((0，T)，R2×d))是BSDE(2.2.3)在终端ξ1和ξ2，在时间[0，T]上的解，则我们可以找到一线性变换Yt=AtYt使得：