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本研究主要包括三部分内容：一部分是关于概周期型函数的等价定义的证明，一部分是解决关于向量值概周期型函数的两个公开问题，最后一部分是将渐进概周期函数的唯一分解性质运用到常微分方程中去，讨论渐进概周期系统平衡解的稳定性。自从丹麦数学家H.Bohr在20世纪20年代建立概周期函数理论以来，经过几代数学家的努力，该理论有了巨大的发展。为了更好的理解概周期型函数的性质及其内部关系，本文用泛函分析的方法证明了其等价定义；又因为Banach空间的性质和应用一直是泛函分析中的重要研究课题，本文在第二部分中研究了将弱概周期函数和伪概周期函数的函数值由数值推广为向量值以后，向量值弱概周期函数和向量值伪概周期函数的性质及其包含关系。微分方程平衡解的稳定性分析理论在数学理论方面饶有兴趣，在实际应用方面也有广阔的背景，本文最后讨论了渐进概周期系统平衡解的稳定性，这是对概周期系统平衡解的稳定性理论的推广应用。由渐进概周期函数的唯一分解性质可知，渐进概周期函数可以分解为一个概周期函数和一个无穷小量的正交和，又因为Barbashin-Krasovskii定理在概周期系统中是成立的，从而，可以得到渐进概周期系统平衡解的稳定性定理。