图论最早源于著名的哥尼斯堡七桥问题，已有两百多年的发展史.图的染色理论起源于四色问题，是图论研究中最重要的课题之一.在自然科学、社会科学领域都有重要的应用.在本论文中，我们研究了图的全染色、列表染色、邻和可区别全染色和列表线性荫度的问题。　　若无特别明确指出，本文所考虑的都是简单的，无向的，有限的和非空的图.令G=(V， E)是一个图，对一个点v∈V(G)，用NG（v）表示v在图G中的邻点集，dG(v)=|NG（v）|是点v的度数.图G的最大度和最小度分别用△(G)和δ(G)表示.为方便起见，令△=△(G)和δ=δ(G).　　图G的k-全染色是指用k种颜色（1，2，…，k）对V(G)∪E(G)中的元素进行染色，使得相邻的两个元素或者相关联的两个元素染不同的颜色.图G的所有k-全染色中的最小正整数k称为G的全色数，记为x"(G).关于图的全染色猜想(Total Coloring Conjecture):对任意图G，△+1≤x"(G)≤△+2.这个猜想对于△≤5的一般图都成立.随着研究的不断深入，研究者发现有很多图的全色数不只满足全染色猜想，还可以取到相应的下界，也就是说x"(G)=△+1.就平面图而言，对△=6的平面图全染色猜想还未证明成立.而对△≥9的平面图G，已经证明了x"(G)=△+1.对4≤△≤8的平面图，也未找到不能(△+1)-全可染的例子.于是有了平面图猜想:任意最大度至少为4的平面图是(△+1)-全可染的.本文在第二章证明了平面图的全染色的三个相关结果:(1)对于△≥8的平面图G，若任何两个弦6-圈不相邻或者任意6-圈至多只含一条弦，则x"(G)=△+1;(2)对于△≥8的平面图G，若任何7-圈至多含两条弦，则x"(G)=△+1;(3)对于△≥7的平面图G，若任何两个弦5-圈不相交，则x"(G)=△+1.　　一个映射L被称为图G的一个分配，如果对于每个点v∈V(G)，都有一个列表L(v).如果G存在一种染色使得每个点从列表中得到颜色，并且每两个相邻的点颜色不同，我们称G是L-点可染的.称图G是k-点可选的，如果|L(v)|≥k且G是点可染的，这里v是G中的任意一个点.我们在第三章证明了平面图G中3-圈或4-圈不同时与5-圈相邻，G是4-可选的.如果对于图G的任意一条边e∈E(G)，我们给其一个颜色集合L(e)，那么就称L为G的一个边列表.对于图G的任意一个满足条件|L(e)|≥k的边列表L，其中e∈E(G)为G的任意一条边，如果G都是L-边可染的，那么就称图G是k-边可选的.使图G是k-边可选的最小正整数k称为图G的列表边色数，记作xl(G).类似地，我们可以给出图G的列表全色数xl(G)的定义，即把上述边染色换为对图的顶点和边进行染色.在第三章我们证明了对于平面图G，若最大度△(G)≥8，且4-圈与5-圈不相邻，则xl(G)=△，xl(G)=△+1;若最大度△(G)≥6，且4-圈与5-圈不相邻，则xxl(G)=△+1,x"l(G)=△+2.　　近年来，魔幻、反魔幻标号、非正则强度等与“和(sum)”有关的染色与标号问题引起了广泛关注，其中比较著名的有1-2-3猜想和1-2猜想.本文的第四章给出图的邻和可区别全染色的定义，并给出相关问题的一些猜想和主要研究进展.用f(v)表示点v及所有与其关联的边的颜色的加和，如果对任意的边uv，有f(u)≠f(v)，则称这样的k-全染色为图G的k-邻和可区别全染色.k的最小值称为图G的邻和可区别全色数，定义为x"Σ(G).Pil(s)niak和Wo(z)niak猜想对至少两个顶点的图G，x"Σ(G)≤△(G)+3.目前这个猜想已经证明对于完全图，圈，二部图，立方图，系列平行图和△≥14的平面图都成立.我们证明了对于可嵌入到欧拉示性数非负曲面的图来说，x"Σ(G)≤max{△(G)+2,16}.　　最后，本文还讨论了平面图的列表线性荫度.一个图G的线性荫度是指把图G中的边集剖分成线性森林的最小数目，记为la(G).Akiyama等人猜想la(G)≤「△(G)+1/2」对每个正则图G都成立.显然，对于每个图G都有la(G)≥「△(G)/2」，对于每个正则图G都有la(G)≥「△(G)+1/2」，因此，Akiyama等人的猜想等价于如下猜想，即线性荫度猜想:设G是一个简单图，则「△(G)/2」≤la(G)≤「△(G)+1/2」.如果对于图G的任意一条边e∈E(G)，我们给其一个颜色集合L(e)(c)N，那么就称L为G的一个边列表，其中N是一个正整数集合.如果G存在一个正常的边染色φ(e)使得对每条边e有φ(e)∈L(e)且对任意的i∈Cφ有(V(G)，φ-1(i))，其中Cψ={ψ(e)|e∈E(G)}.那么我们说G是线性L-可染的且ψ是G的线性的L-染色.我们说G是线性k-可选的如果G是线性L-可染的且对于所有边e的每个列表分配L满足|L(e)|≥k.一个图G的列表线性荫度lalist(G)定义为G是线性k-列表可染的最小值k.显然la(G)≤lalist(G).本文的第五章，我们证明了如果G是一个平面图且G中7-圈至多含两条弦，那么若△(G)≥6，则G是线性「△+1/2」-可选的，若△(G)≥11，则G是线性「△/2」-可选的.　　在本文的第六章，我们将对全文进行总结，并提出在图的染色问题中一些今后可继续研究的课题.