图像重构是图像处理领域中研究的热点和重点。图像重构需要从有噪音的观测数据,恢复出隐藏的多维参数。典型的应用有医学、工程、天文学和地球物理学中的成像或传感技术。我们把图像重构问题理解为统计反问题,贝叶斯反演(Bayesian inversion)使用统计方法求解反问题,贝叶斯反演使用贝叶斯定理推断给定观测数据后未知参数的后验分布。它能同时得到参数的估计值和不确定性信息,是解决图像重构问题的合理方法。贝叶斯推断求解图像重构问题有很多挑战和难点。比如,计算效率的提高、超参数优化、先验的选择、设计高效的抽样方法、不确定性信息的使用等。本文旨在解决这些难点中的一个或几个以提高重构图像的准确度和推断过程的计算效率。对于先验或似然函数依赖未知超参数的图像重构问题,我们重点关注的是优化超参数的高效计算方法。一般地,这些超参数通过最大化边际似然函数确定。边际似然函数定义为给定超参数时观测数据的条件概率。但是对于高维图像,边际似然的计算成本太高。基于先验协方差到后验协方差更新的低秩近似,我们设计一种近似计算边际似然函数高效方法,并证明了该方法在极小极大意义下是最优的。在数值实现中,我们使用随机奇异值分解(randomized singular value decomposition,RSVD)和频谱近似方法(spectral approximation method)实现快速计算先验协方差矩阵的平方根的目标。对于函数空间中无闭式后验分布的贝叶斯推断问题,我们重点关注的是设计高效的、维数独立的抽样方法。维数独立指的是抽样方法的抽样效率不受函数离散网格细化(mesh refinement)的影响。预处理克兰克-尼科尔森抽样方法(preconditioned Crank-Nicolson,pCN)是函数空间中的马尔科夫链蒙特卡洛抽样方法(Markov chain Monte Carlo,MCMC)。然后基于pCN方法,我们提出了一种新的混合自适应MCMC抽样方法:对样本空间中的样本,在选定的有限维子空间中执行自适应Metropolis更新策略,在其补空间中执行标准的pCN更新策略。最后证明了我们提出来的抽样方法满足某些重要的性质,比如收敛性、遍历性等。最后,对于医学图像的贝叶斯重构问题,我们研究了服从泊松分布的医学图像的贝叶斯推断和不确定性量化问题。首先,我们给出了该问题的无限维贝叶斯推断框架,为了使未知参数符合实际的物理意义,我们对变量进行了保正值的重参数化。在未知参数重参数化和贝叶斯推断中使用全变差高斯混合先验(TV-Gaussian prior,TG)时,我们证明了后验分布是适定的。然后,为了克服TG先验中全变差先验部分不可导的困难,基于预处理克兰克-尼科尔森郎之万方法(pCN Langevin method,pCNL),我们提出原始对偶pCN(primal-dual pCN,PD-pCN)抽样方法:使用原始对偶算法计算抽样方法中样本更新方程的偏移方向。另外,基于模型差异方法,我们给出了混合TG先验中TV项系数的选择方法,选择合适的TV项系数可以平衡数据和先验信息,达到避免过拟合和欠拟合问题的目的。最后,我们给出了由贝叶斯方法得到的不确定性信息的一个具体应用:使用后验分布检测重构图像中的伪影(artifact)。