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R.J.Blattner，M.Cohen，S.Montgomery于1986年给出了代数A和Hopf代数H的交叉积A＃σH的定义[1][3]：H是Hopf代数，A是代数，H测度A，σ∈HomK(H()H，A)对卷积是可逆的，如果向量空间A()H有乘法运算：(a＃x)(b＃y)=a(x1()b)σ(x2，y1)＃x3y2，()a，b∈A，x，y∈H则称A()H为交叉积，记作A＃σH，其中a＃x表示a()x所在的类，且得到了交叉积A＃σH是一个单位元为1A＃1H的结合代数的充要条件：1.A是扭H-模.2.σ是标准余循环的.
本文主要对弱Hopf代数中的弱交叉积、弱扭积、弱扭余积及弱Hopf代数投射表示进行了研究.
我们首先把交叉积的概念推广到H为弱Hopf代数的情况，称之为弱交叉积，并得到了弱交叉积A＃σH是一个单位元为1A＃1H的结合代数的充要条件：1.x()(y()a)=σ(x1，y1)(x2y2()a)σ-1(x3，y3)，()x，y∈H，()a∈A.2.σ是标准余循环的，即：(1).σ(x，1)=σ(1，x)=ε(x)1，()x∈H(2).(x1()σ(y1，z1))σ(x2，y2z2)=σ(x1，y1)σ(x2y2，z)，()x，y，z∈H.进而对弱交叉积A＃σH的一种特殊情况-弱扭积Aσ[H]进行讨论，给出了弱扭积Aσ[H]为弱双代数的充要条件：()x，y，z∈H，a∈A(1).σ(x，y)1()σ(x，y)2=()1σ(x1，y1)()()2σ(x2，y2).
(2).σ(x1，y1)()x2y2=σ(x2，y2)()x1y1.
(3).εA(aσ(x1，y1)σ(x2y2，z))=εA(aσ(x，y1)σ(y2，z))=εA(aσ(x，y2)σ(y1，z)).
当H是弱Hopf代数且满足σ-1(SH(x4)，x5)σ(x1,SH(x3))＃()L(x2)=()＃()L(x)时，弱双代数Aσ[H]是弱Hopf代数，推广了I.Boca[8]和张良云[6]的相应结论.通过对弱Hopf代数Aσ[H]与A的左H不变子代数AH关系的研究，得到了AH与End(Aσ[H]A)是反代数同构，并利用A、H的半单性讨论了弱Hopf代数Aσ[H]的半单性.
我们通过研究弱交叉积A＃σH和弱扭积Aσ[H]的对偶概念弱交叉余积C×αH和弱扭余积Cα(H)，给出了弱扭余积Cα(H)为弱双代数的充要条件.当H是弱Hopf代数且α满足α1(c2)()L(h)SH(α1-1(c1)α2(c2))α2-1(c1)=εc(c)()L(h)时，弱双代数Cα(H)为弱Hopf代数.
最后，我们把投射表示的概念引入到弱Hopf代数上，通过对弱Hopf代数H的投射表示T的研究，我们得到了投射表示T的一些性质，最终给出了由一个H的投射表示T得到H的投射表示T’和弱扭积代数Aσ[H]的一个表示为弱Hopf代数H的投射表示的条件，从而推广了I.Boca[8]的结论.