【摘 要】
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本文致力于研究具时滞种群动力学模型的相关问题,我们分别从有界区域和全空间的角度考虑具时滞反应扩散方程.当模型的空间扩散是退化扩散形式时,具有生态学意义且非局部出生率函数涉及全空间,因此本文主要研究具退化扩散和非局部模型的解的存在性、唯一性和正则性.特别地,我们考虑行波解的稳定性以及解收敛到非平凡稳态解的收敛率.在本文的第一章中,我们介绍种群动力学模型在生态学中的重要意义、模型演化过程以及最近的研究
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本文致力于研究具时滞种群动力学模型的相关问题,我们分别从有界区域和全空间的角度考虑具时滞反应扩散方程.当模型的空间扩散是退化扩散形式时,具有生态学意义且非局部出生率函数涉及全空间,因此本文主要研究具退化扩散和非局部模型的解的存在性、唯一性和正则性.特别地,我们考虑行波解的稳定性以及解收敛到非平凡稳态解的收敛率.在本文的第一章中,我们介绍种群动力学模型在生态学中的重要意义、模型演化过程以及最近的研究进展.在第二章中,我们考虑具退化扩散和时滞的单稳非局部种群动力学模型.我们主要研究非局部时滞反应扩散方程的行波解的全局稳定性.当时滞足够小时,Huang-Ji-Mei-Yin通过扰动方法分析了具时滞的局部反应扩散方程的具大波速的行波解的存在性.他们还用加权能量方法证得行波解的稳定性.然而,非局部与局部情况有着本质不同.我们观察到,非局部项扮演了一个光滑子的角色,它使得方程近似于一个正则扩散.通过黏性消失方法和单调技术,Xu-Ji-Mei-Yin证得非局部退化方程的行波解的存在性,包括临界波的存在性.基于他们所得行波解存在性的结论,我们通过加权能量法证明了非临界波速对应的行波解的全局稳定性.这里允许初始扰动在L1意义下可以任意大.特别地,对退化扩散情形,我们首次证明了行波解的L1-稳定性.我们注意到,权函数的选择并不能保证由行波解在加权L1空间中的稳定性可以推导其在L1空间中的稳定性成立.为此,我们引入一个截断函数证明L1-稳定性.此外,通过构造Holmgren序列和紧分析,我们证明了初始值问题的解的存在性、唯一性和正则性.在第三章中,我们刻画了 Allee效应对种群密度的影响.我们首次给出了局部的、非局部的具退化扩散和时滞的双稳种群动力学模型整体解的性质,包括解的存在性、唯一性和正则性.这一章的主要方法是Holmgren迭代技术结合紧分析和单调技术.由于Allee阈值的影响,双稳反应扩散方程的反应项不能直接分割为两个单调函数.故而迭代技术的关键点在于寻找一个可以构造辅助方程的单调函数以及对共轭问题的解做估计.然后,我们通过上、下解得到理想的迭代估计.在最后一章中,我们研究Nicholson绿蝇种群在局部区域的特征,即Dirichlet边界条件下具时滞的Nicholson绿蝇模型.基于So和Yang使用分割区域法所得的解的收敛性,我们注意到区域ΩB={x∈Ω|φ（x）＞1/α}中的解在大时滞时可能发生振荡,因此我们着眼于ΩB中的非平凡稳态解的收敛性.我们采用能量方法首次对具挑战性的非单调情形推导了解收敛到稳态解的指数收敛率.特别地,我们发现即使边界值是非零的,解对稳态解的扰动在内边界的能量积分也将自动消失,这在解决问题的过程中是关键的.
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