子图分解,作为结构图论的主要研究课题之一,考虑将一个图G分解成点不交或边不交的最小数目的基本图类.若该基本图类为线性森林,则子图分解为线性荫度求解问题;若该基本图类为匹配或者独立集,则子图分解即分别为边染色和点染色问题.本学位论文主要研究一些简单图的线性荫度和多重符号图的全染色问题.图的线性荫度的概念是Harary在1970年提出的,指的是将图G的边集分解成m个边不交的线性森林的最小整数m.线性森林即每一个连通分支都是路的图.1980年,Akiyama,Exoo,Harary提出了著名的线性荫度猜想（LAC）:对任意的图G,[Δ（G）/2]≤la（G）≤[Δ（G）+1/2].同时,他们也证明了 Δ=3和Δ=4的图以及树、完全图、完全二部图都是满足线性荫度猜想的.1982年,Δ=6的图被Tomasta证明是满足线性荫度猜想的.1984年,Enomoto,Péroche证明了 Δ=5,6,8的图满足线性荫度猜想.1986年,Guldan证明了 Δ=10的图满足线性荫度猜想.1999年,Wu证明了 Δ ≥ 9的平面图满足线性荫度猜想.2008年,Wu等人证明了 Δ=7的平面图满足线性荫度猜想.以上结果证明了线性荫度猜想对所有的平面图都是成立的.图G的正常k-全染色是一个映射φ:V（G）∪E（G）→ {1,2,…,k},使得V（G）∪E（G）中任意两个相邻的或相关联的元素均染不同的颜色.20世纪60年代,Vizing和Behzad分别独立提出了全染色猜想（TCC）:对每一个简单图G,χ"（G）≤ Δ（G）+2.1971年,Vijayaditya 和 Rosenfeld 分别独立证明了 Δ=3 的简单图 G,χ"（G）≤ 5.1977 年,Kostochka 证明了 Δ=4 的多重图 G,χ"（G）≤ 6.1996 年,Kostochka 证明了 Δ（G）≤ 5的多重图G,χ"（G）≤ 7.符号图Γ=（G,σ）是在图G的基础上,给其边集一个符号映射σ:E（G）→{+1,-1},其中G是Γ的底图.对于任意的e∈E（Γ）,若σ（e）=1,称e是正边;若σ（e）=-1,称e是负边.2020年,Behr定义了符号图的边染色,同年,Wang提出了符号图全染色的定义,并证明了 Δ=3的简单符号图Γ,χ"（Γ）≤ 5.本学位论文主要研究3-正则图,4-正则图和乘积图的结构,并对这些图类的线性荫度进行讨论.我们也研究了多重符号图的全染色问题,本文共分为五部分.在第一章中,我们介绍了本文使用的基本概念和相关术语,图的线性荫度,符号图和全染色的研究概况以及本文的主要结果.在第二章中,我们运用了新的证明方法对正则图的线性荫度问题进行研究,r-正则图可以分解成r+1个匹配,我们将这些匹配两两合并,证明任意两个匹配都可以合并成一个线性森林,通过对r进行归纳,得到了以下结果:（1）归纳基础:我们证明了 2-正则图G可以分解成2个边不交的线性森林LF1,LF2,且 Δ（LF2）=1.（2）我们进行了归纳法的尝试,证明了 3-正则图G的线性荫度la（G）=2.（3）我们对归纳法进行进一步的尝试,证明了 4-正则图G可以分解成3个边不交的线性森林LF1,LF2,LF3,即la（G）=3,其中Δ（LF3）=1.此结果将其中一个线性森林的最大度限制到1,比1981年Akiyama,Exoo,Harary[2]所得到的结论更强.在第三章中,我们对乘积图的结构进行了研究,并讨论了一些特殊乘积图的线性荫度,得到了以下结果:（1）对于路Pm和Pn的强积图Pm（?）Pn,la（Pm（?）Pn）=[Δ（Pm（?）Pn）/2].（2）对于树T和路Pn的强积图T（?）Pn,la（T（?）Pn）=[Δ（T（?）Pn）/2].在第四章中,我们把最大度为4的多重图全色数的结果推到了符号图上,得到以下结论:如果Γ=（G,σ）是最大度为4的多重符号图,那么χ"（Γ）≤6.在第五章中,我们对本文的结果进行了总结,并提出了一些相关领域进一步可研究的问题.