本文旨在研究讨论奇摄动理论在分段光滑问题和分数阶问题中应用。近年来,由于工业化的推进以及奇摄动理论所应用学科的快速发展,讨论的模型经常无法满足在整个定义区间上的连续性,即模型具有分段连续性,因此奇摄动理论在分段连续系统中的运用也逐渐被人重视。本文第二至五章将主要运用俄罗斯Tikhonov学派的奇摄动渐近理论方法去讨论空间对照结构理论在几类分段连续的奇摄动问题中的应用。与之类似的,曾作为“数学御用伙伴”的分数阶微分问题也在近年来被发现能很好地应用于流体力学、流变学、粘弹性力学等众多方面,本文第六章也将讨论Tikhonov学派的奇摄动渐近理论如何应用在分数阶奇摄动问题中。本文第一章主要介绍了奇摄动理论的发展过程、奇摄动理论在分段光滑问题以及分数阶问题中的应用现状以及本文所研究问题的概述。本文第二章主要讨论了一类具有Dirichlet边值条件的二阶分段连续快慢系统,运用边界层函数法构造了该问题的渐近解,运用空间对照结构理论证明了一阶光滑解的存在性,并给出了解的余项估计。值得注意的是,分段连续意味着该二维系统在某条与时间轴垂直的平面上不满足连续性,反映在一维系统中即为在某条与时间轴垂直的直线上间断。而很多情况下,间断线并不一定与时间轴垂直,因此讨论更一般的情况是有必要的。本文第三章主要讨论了一类半线性奇摄动问题,与第二章不同的是,本章所讨论问题的间断线是相对来说更为一般的单调曲线,在此更为一般的情况下,运用边界层函数法构造了该问题的渐近解,运用空间对照结构理论证明了一阶光滑解的存在性并给出了解的余项估计。至此,在第三章问题被推广到了间断曲面更一般的情况。然而,一般问题中会出现很多高维的情况,这也是第四、第五章讨论的问题,但限于现阶段能力,讨论高维情况时,将只考虑间断曲面与时间轴垂直的情况。第四章主要讨论了一类一阶三维系统,同样运用边界层函数法构造了问题的渐近解,运用空间对照结构理论证明了连续解的存在性,并给出了解的余项估计。讨论了三维系统之后,在第五章中情况被推广到符合给出假设条件的更高维的情况,第四章的内容即为第五章所讨论问题在三维时的特例。遗憾的是,由于一般高维系统的解的表达式很难具体写出,因此在第四、第五章的讨论中,边界层和内部层系数的具体表达式并未被给出,而代之证明了各阶系数的存在性及其需满足的问题。本文第六章主要讨论了一类分数阶奇摄动问题,与分段光滑相独立的分数阶问题由于其在描述某些如粘弹力模型等物理模型和数字信号处理上的有效运用,近年来也成为研究热点。第六章讨论了一类带有Caputo型分数阶导数的奇摄动初值问题,将奇摄动渐近理论中的边界层函数法证明推广到分数阶的情况,利用Laplace变换中的终值定理证明了边界层函数的衰减性（并未证明指数衰减性）,利用不动点定理证明了解的存在性并给出了余项估计。