数字图像处理,是利用计算机对图像信息进行分析,以达到我们所需目标的过程,在众多科学与工程领域中应用广泛。常见的图像处理方式有图像编码、图像复原、图像增强、图像压缩、图像分割和图像分析等。本文主要研究图像复原和图像分割两方面的内容。图像复原实质是图像退化过程的逆过程,它根据得到的退化图像信息对含有噪声、模糊化或信息丢失的图像进行处理以恢复原来的图像,所得图像是原始图像在某种意义下的最优近似。图像复原包括很多方面的内容,例如图像去噪和去模糊、图像修复和图像的超分辨等。对于图像去噪去模糊,本文基于Getreuer等人给出的Rician去噪模型^[1],提出一种新的量身定做有限点方法（TFPM）来求解最小化目标泛函得到的抛物或椭圆方程。与传统的有限差分方法的区别是,TFPM采用局部近似算子的解作为基函数,并使用加权残差的配置法思想得到更有效的数值解法,从而在恢复图像中保留更多的纹理细节。数值结果表明,我们的方法使得图像的恢复质量得到很大改进。除此之外,我们还验证了极小化Rician去噪模型解的存在性。对于图像修复,我们提出一种新的量身定做有限点方法（TFPM）求解由Bertozzi^[2]和Cherfils^[3]等人给出的二值和灰度图像修复模型。数值实验表明,采用量身定做有限点方法（TFPM）恢复的图像质量也得到了很大改善。此外,我们分析了算法的稳定性。图像分割是把图像分割成具有不同特性的区域,并提取出感兴趣对象的过程^[4]。从七十年代以来,图像分割问题开始吸引很多学者的关注,是图像处理中的一个经典难题,到目前为止仍然不存在通用的解决方法。对于图像分割,我们基于Cahn-Hilliard方程提出了一种新的图像分割模型。这个模型的一个有趣的特征在于它能够对大范围缺失部分恢复出合理的轮廓,形成有意义的对象边界。此前在大多数文献中通常使用曲率驱动模型来实现图像分割。在数值求解方面,我们采用了最近研究的量身定做有限点方法（TFPM）思想,其有助于保持图像强度中的剧烈跳跃信息,从而有助于分割出清晰的轮廓。我们的数值案例也验证了我们所提出的模型和方法的有效性。此外,我们还分析了该模型弱解的存在性和唯一性。