【摘 要】
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本文部分证明了Hernandez和Leclerc的猜想:?=2,g为A3型李代数[45].具体地,量子仿射代数Uq（A3）的有限维表示范畴的某个满子范畴C2是cluster代数A（Γ2）的monoidal范畴化.也就是说,C2的Grothendieck环R2同构于cluster代数A（Γ2）,并且A（Γ2）中所有cluster单项式和cluster变量（包括frozen变量）分别对应于C2中的所有
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本文部分证明了Hernandez和Leclerc的猜想:?=2,g为A3型李代数[45].具体地,量子仿射代数Uq（A3）的有限维表示范畴的某个满子范畴C2是cluster代数A（Γ2）的monoidal范畴化.也就是说,C2的Grothendieck环R2同构于cluster代数A（Γ2）,并且A（Γ2）中所有cluster单项式和cluster变量（包括frozen变量）分别对应于C2中的所有real单对象和real prime单对象.第二章中,我们首先给出量子仿射代数及其有限维表示的一些基本概念和性质,然后介绍了cluster代数的一些基本概念和结果,这些是我们后面内容的基础.第三章,我们给出主要结论 （定理3.1）的一个等价刻画（命题3.1）并证明cluster代数A（Γ）和Grothendieck环R2是同构的.定理3.1中的cluster代数A（Γ2）是一个E6型的cluster代数,但是初始箭图Γ2不是E6型的,为了利用有限型根系的相容性关系来描述对应cluster代数的cluster变量的相容性,我们选取一个bipartite定向的箭图Γ做为初始箭图.然后利用Grothendieck环R2是多项式环以及T-systems等工具我们找到cluster代数A（Γ）的生成元使其成为一个同构于R2的多项式环.第四章,我们计算了范畴C2中所有real prime单模的截断q-character.由于一个表示的q-character完全由其支配单项式决定,所以对范畴C中任意对象V的q-characterχq（V）,我们定义其包含了所有支配单项式的截断q-characterχq（V）≤4.对于最高权单项式为m的单模L（m）,我们定义了一个辅助多项式N（m）及其截断.并证明C2中real prime单模的截断q-character等于我们所定义的辅助多项式的截断.第五章,我们完成命题3.1的证明.Cluster代数A（Γ）中的cluster单项式对应于C2中的real单对象,而cluster变量（包括frozen变量）对应于real prime单对象.在描述cluster单项式的过程中,我们对E6型根系的相容子集作了一个清晰的描述.作为命题3.1的推论,对于cluster代数A（Γ）中每一个交换关系（exchange relation）都存在C2中的一个正和序列与之对应.这与Mukhin和Young的结果相呼应[63].
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