【摘 要】
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图的zeta函数最早是由Ihara提出的,通过研究p-adic群,Ihara研究了正则图的zeta函数,后人称为Ihara-zeta函数.随后关于图zeta函数的研究层出不穷:Hashimo-to讨论了半正则二部图的zeta函数;Bass将正则图上的zeta函数推广到一般图上.他将一个无限乘积转化为一个与邻接矩阵和度矩阵相关的多项式,这是非常重要的结论,为得到一般有限图的zeta函数提供了简便的方
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图的zeta函数最早是由Ihara提出的,通过研究p-adic群,Ihara研究了正则图的zeta函数,后人称为Ihara-zeta函数.随后关于图zeta函数的研究层出不穷:Hashimo-to讨论了半正则二部图的zeta函数;Bass将正则图上的zeta函数推广到一般图上.他将一个无限乘积转化为一个与邻接矩阵和度矩阵相关的多项式,这是非常重要的结论,为得到一般有限图的zeta函数提供了简便的方法.由图的zeta函数可以确定某些图的不变量,例如Northshield发现连通图生成树的数目与图zeta函数有关的量之间存在关系.在Bass结果的基础上,很多学者开始研究各种图类的Ihara-zeta函数的表达式.到目前为止,半正则二部图的线图和中间图、正则图的锥图、两个正则图的r-联图、半正则二部图的锥图和几类冠图的Ihara-zeta函数已经被讨论,这是研究图的zeta函数的一个基本问题.另外,图的谱（邻接谱）和图的zeta函数能否相互确定也是图的zeta函数所研究的一个基本问题,对具有某些性质的图类,它们的zeta函数相同当且仅当它们有相同的谱.本文得到了以下三个主要结果:（1）在Bass结果的基础上,运用矩阵及行列式运算的相关技巧得到了两个半正则二部图联图的Ihara-zeta函数,根据图的zeta函数得到了半正则二部图联图生成树的数目,并且用另一种方法验证了结果的正确性.（2）通过刻画半正则二部图联图的谱,证明了半正则二部图联图的谱可以确定该图的zeta函数.（3）讨论了简单半正则二部图联图zeta函数的收敛半径.
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