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在微分几何,复分析和应用科学中出现了一类完全非线性偏微分方程,即Monge-Ampere方程。本文所要讨论的k-Hessian方程就是Monge-Ampere方程的一个推广。另外,κ-Hessian方程本身对于微分几何,及许多应用科学也有重大的意义,因此,对κ-Hessian方程的研究是很有价值的。当k>2时,k-Hessian方程是一类复杂的完全非线性方程,对它的研究又是很有挑战的,需要深入了解几何,代数,分析,偏微分方程等各个领域的知识。本文主要介绍关于k-Hessian方程的Dirichlet问题的研究方法及成果。 在本文的第一章介绍了k-Hessian方程的背景和定义以及一些偏微分方程的基本概念。在第二章,介绍了k一容许函数的概念,并且说明在k一容许函数下,k-Hessian方程的椭圆性和k-Hessian算子的凹性。接下来在第三章,叙述了一个著名的关于k-Hessian方程的Dirichlet问题的古典解的存在性和正则性的证明。在第四章中,介绍了k-Hessian测度和k-Hessian方程弱解的定义,并且叙述了一个关于弱解的存在性的证明,介绍了非光滑k一容许函数的正则性的研究进展。最后,在第五章中介绍了k-Hessian容量的概念和弱解的唯一性问题的研究进展,并对其做了进一步的研究。 关于k-Hessian方程,留给人们的问题还有很多,比如弱解的正则性和唯一性的问题,以及在减弱一定条件后的古典解的存在性和正则性问题等等。