本文采用一种有效的谱方法来求解极几何区域中的椭圆特征值问题。极几何区域以圆域和环域为例,分别求解了四阶及二阶椭圆特征值问题。对于圆域上四阶椭圆特征值问题,首先,我们推导了原始问题基本极条件的等价的降维格式。其次根据极条件,定义了带权的Sobolev空间,结合极大极小原理和正交多项式的逼近性质,证明了逼近特征值的误差估计。然后,我们构造逼近空间中的一组适当的基函数并推导了离散变分问题的矩阵形式,其质量矩阵和刚度矩阵都是稀疏的,因此我们可以有效地求解数值解。最后,我们提供了一些数值实验来验证理论结果和算法。对于环形区域的椭圆特征值问题,我们给出了环形区域上二阶椭圆特征值问题基于Legendre-Galerkin谱逼近的一种高精度数值方法,该方法是通过极坐标变换将原问题化为一系列的一维特征值问题。再选择一组合适的基函数,利用基函数的正交性,使得离散变分形式的质量矩阵和刚度矩阵都是稀疏的。然后利用紧算子的谱理论给出了逼近解的误差估计,并给出了数值例子,数值结果表明我们的算法是有效的。