本文将主要讨论如下形式的线性响应特征值问题:Hz=[(0)MK(0)][yx]=λ[yx]=λz这里的K和M是n×n实对称矩阵，并且其中一个是正定的.这种形式的特征值问题广泛应用于时间相关的密度函数理论的线性响应扰动分析.因此，称之为线性响应特征值问题，或随机相位近似(RPA)特征值问题.本文主要讨论线性响应特征值问题的数值方法以及相应的收敛性分析。全文共分为五章。　　第一章主要介绍了特征值问题的背景和求解特征值问题的投影类方法，以及线性响应特征值问题的背景和发展现状。　　第二章讨论了线性响应特征值的问题的一些基本理论.在这些定理中，有一些是线性响应特征值问题的基本性质，而有一些则是最近的一些新的理论结果.另外，在这一章的末尾，我们还简单介绍了Bai和Li(SIAMJ.MatrixAnal.Appl.，toappear)提出的求解线性响应特征值问题的局部最优的块预条件的4-维共轭梯度法(LOBP4DCG)。　　我们主要工作集中在第三章和第四章.在第三章中，我们分析了线性响应特征值问题的两类Lanczos类型方法的收敛性。第一种是求解对称特征值问题的经典Lanczos方法的自然推广，而第二种是则由Tisper(JETPLetters，70(1999)，PP.751-755)提出的.通过收敛性分析，我们得到了这两种方法的特征值和特征向量的收敛性定理.这些收敛性定理暗示着第一种Lanczos方法要比Tisper的Lanczos方法快的多.数值实验也证实了我们的结论。　　在第四章中，我们提出了求解线性响应特征值问题的块Chebyshev-Davidson方法，并用以求其最小正的特征值以及所对应的特征向量.Chebyshev-Davidson算法的关键是需要一个有效的特征值上界.为此，我们提出了一个基于合理假设条件下的上界估计算法，同时我们还给出了Chebyshev-Davidson的自适应策略.当这个假设条件不成立的情况时，自适应的策略可以自适应的调整上界，从而保证了Chebyshev-Davidson方法仍然是有效的.另外，我们还估计了Chebyshev-Davidson算法的收敛率.最后的数值实验了也说明了Chebyshev-Davidson方法是有效的.在最后一章中，我们总结了本文的主要工作，以及对进一步研究线性响应特征值问题的展望。