对于正常状态空间系统的二次型指标最优控制问题(也就是正常系统的)的研究，起初的先驱者之一是Kalman．在现代控制理论的发展过程中，涌现出了LQ问题的研究成果，它们不仅从纵向深入了对LQ问题的探讨，而且也从横向拓展题的应用范围． 由于LQ问题作为一个基本的控制问题在理论上具有普遍的重要性，近年Ito随机系统的LQ问题还是离散时间随机系统的LQ问题都得到了控制理论界学者的高度重视，在这方面出现了大量的研究成果．与此同时，该项研究发现正常问题与随机系统的LQ问题之间存在着一些本质的差别：在Ito随机系统中，当指控制权矩阵不定号时，相应的LQ问题仍然可以是良定的．在此之后，数理金融界的门进一步给出了与这一发现相对应的经济学解释．与此同时，这些非常有意义的工门对于数理金融学中的均值-方差投资组合理论有了更深层次的认识． 尽管LQ问题在正常状态空间系统情形与在随机系统情形之间存在着某异，然而，不可否认的是，即使是在随机系统中，一些原本在确定性系统中常用的研究是行之有效的．基于这样的认识，在本文中，我们就准备分别从渐近分析以及数值个角度来关注两类无限时区离散时间随机LQ问题． 值得提及的是，在本文讨论的过程中，我们将仿照Ito随机系统的情形，为带出的离散时间随机系统的精确能观性这一概念建立Popov-Belevith-Hautus判据．我们还将定义该系统精确能检性的概念，并在此基础上讨论它与系统精确能观性的它所具有的一些性质． 为了使所呈现的一系列理论结果得到验证，我们在本文的每一节中都安排了这些例子也同时表明了我们所推得的结果的有效性．