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本文主要考虑复杂流体动力学中的一些数学问题,复杂流体属于非牛顿流体的范畴,是介于流体和固体之间的,具有复杂本构关系的物质,高分子流体是一类重要的复杂流体,引起了物理学家、化学家、流变学家的广泛关注.本文对高分子流体中著名的FENE(Finite Extensible Nonlinear Elasticity)模型的适定性进行了研究。
全文共分四章。
第一章,首先介绍了复杂流体的数学背景和FENE模型.FENE模型是一个多尺度模型,它是由描述宏观流体流动的Navier-Stokes方程和微观分子运动的Fokker-Planck方程耦合而成.随后介绍了FENE模型国内外研究现状和本文的主要工作。
第二章,因为FENE模型在边界附近有奇性,为了研究解在边界附近的状态,并准确的刻画边值问题的适定性,作者对一类退化抛物型方程初边值问题做了深入的研究.利用正则化的方法,证明了在不需事先给定边界条件的情况下,方程存在唯一的光滑解。
第三章,单独考察了Fokker-Planck方程.首先证明了Fokker-Planck方程弱解的存在性,然后利用第二章结论,证明了当非量纲参数b>2时,Fokker-Planck方程在某个加权的Sobolev空间中存在唯一的光滑解,得到的正则性结果是本质的并且当b不是偶数时是最优的。
第四章,利用压缩映像原理,证明了当参数b>2时,FENE模型方程组局部光滑解的存在性。