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本文主要在三维空间中研究了流体动力学模型中的一些问题.
首先我们研究了非等熵的Euler-Poisson,方程的平衡解问题.假设宏观熵S为:S(x)=θln|x|,其中θ是一个常数.则通过一个非线性变换,Euler-Poisson系统的平衡态方程可以化为一个带权的二阶椭圆方程{-div(|x|l▽u)=|x|-luq-σh(x) x∈Ω,(EPS)u|(δ)Ω=0,u＞0 x∈Ω,其中Ω是R3中包含原点的有界区域,h(x)∈C1(-Ω)可变号.当与速度场有关的常数σ及与熵有关的常数θ满足不同的条件时,利用变分方法,在带权的Sobolev空间中,我们讨论了方程(EPS)解的不同情况.
然后,在三维管道中,我们考虑了不可压Euler方程的非线性不稳定性{ρt+V·▽ρ=0,ρVt+ρV·▽V+▽P=ρG,(IE)div V=0,
其中ρ=ρ(t,x,y,z),V=V(t,x,y,z)和P分别表示流体的密度、速度和压力,G=(g,0,0)是沿x轴方向的重力常数,t≥0为时间.如果满足平衡态方程的密度是非增的,那么这样的平衡态是非线性不稳定的.
如果粘性项和热传导项对多方理想流体运动的影响不能忽略,那么具有自重力作用的流体模型可由Navier-Stokcs-Poisson方程描述{ρt+div(ρv)=0,(ρv)t+div(ρv(×)v)+▽P=Lv-ρ▽Φ,Cvρ(Θt+(v·▽)Θ)+Pdivv=k△Θ+Q(▽v]),(NSP)△Φ=4πgρ,lim|x|→+∞Φ(x)=0,(ρ,v,Θ)|t=0=(ρ0,V0,Θ0:)(x),其中Lv=μ△v+(λ+μ)▽divv,Q(▽v)=μ/2|▽v+▽tv|2+λ(divv)2.这里Θ,Cv和后≥0分别表示温度,热力常数和热传导系数.▽tv是▽v的转置.λ和μ是满足μ＞0,3λ+2μ≥0的粘性系数.我们证明了(NSP)方程解爆破的一个充分条件,并且给出了一类特殊的径向爆破解.