自从拓扑绝缘体被发现以来,对能带拓扑性质的研究一直是凝聚态物理学中最活跃的研究领域之一。拓扑带结构不是电子费米系统所特有的。近些年,人们发现玻色型激发同样拥有拓扑非平庸的带结构,如拓扑光子,拓扑声子激发,拓扑磁振子。这篇博士论文,除了系统的介绍拓扑磁振子和平带的基本理论外,主要包含作者读博期间关于Hubbard模型的铁磁自旋波激发的以下两项研究:(1)一维平带巡游铁磁体中的拓扑磁振子近几年,对拓扑磁振子的研究也引起了人们极大的研究兴趣。不仅因为理论本身的意义,而且它在磁振子自旋电子器件中有潜在的应用价值。已有的拓扑磁振子的理论模型有一个共同特点:它们都是基于局域自旋模型。那么存不存在非局域自旋模型,也就是说在巡游自旋系统中存在拓扑磁振子吗?我们研究一个一维平带Tasaki模型,这个模型可以看作四分之一填充的周期性安德森模型,即在每两个传导电子之间有一个局域的杂质原子并与之杂化,我们同时考虑了传导电子的Hubbard排斥相互作用。Hubbard排斥相互作用会导致系统处于自旋完全极化的铁磁态。我们把系统投影到低能平带上,然后使用严格对角化的方法,获得了系统的自旋波激发。我们发现随着Hubbard相互作用的增加,声学支和光学支之间的能隙先闭合,再打开。这就暗示了可能存在磁振子的拓扑相变。为了确定这种相变是不是拓扑相变,我们计算了声学支的Berry相位,发现在能隙的闭合再打开的过程中,声学支的Berry相位会从零变为π,同时也发现了相变后的确存在在隙边界态。这些结果表明这个相变是拓扑相变。我们首次在巡游模型中实现了由Hubbard相互作用驱动的拓扑磁振子激发。(2)近平带拓扑Hubbard模型的铁磁性和自旋波激发早期,Mielke和Tasaki严格证明了一类平带Hubbard模型的巡游铁磁性。当低能平带被填充一半或接近一半时,基态表现为自旋完全极化的铁磁态。在Mielke和Tasaki构建的模型中,它们的平带都是拓扑平庸的。自从拓扑绝缘体发现之后,人们希望能在拓扑绝缘体中发现分数量子霍尔效应(FQHE)。一个拓扑非平庸的平带被认为是实现FQHE的关键。为此,对拓扑非平庸的平带的研究引起了人们广泛的研究兴趣。以前关于拓扑平带的工作大都关注拓扑平带的分数电荷激发,很少涉及它的磁激发。在这一部分,我们研究一个1/4填充的拓扑平带Hubbard模型的自旋波激发谱。它的跃迁项是一个近平带的手征π通量模型。在半满时,当跃迁与自旋无关时它是一个陈绝缘体,当跃迁与自旋有关时,它是个Z2拓扑绝缘体。足够强的排斥Hubbard相互作用导致基态成为铁磁态。当Hubbard相互作用U小于带间隙时,我们把系统投影到低能近平带上,此时的希尔伯特空间维度随格点数线性增加,然后使用严格对角化的方法,获得了的自旋-1激发谱。由自旋-1激发能必须大于或等于零的条件,我们获得一个临界Uc。当U≥Uc时,基态处于自旋完全极化的铁磁态。自旋-1激发谱包含两个低能集体激发模式:自旋波激发,和一个高能的斯通纳连续谱。我们发现在自旋波激发谱中存在一个极小值,类似于反铁磁中的旋子模式。对于陈绝缘体,激发谱是无能隙的归功于对称性自发破缺;对于Z2拓扑绝缘体,激发谱是有能隙的。在U远小于带间隙时,我们的结果可以看作系统的严格解。我们的自旋波激发谱与玻色化方法的结果存在明显的差别,这可能是因为玻色化方法忽略了自旋波之间的相互作用和近平带对自旋波激发谱的贡献,而我们的结果恰恰包含了它们的贡献。