设L=(e_ij)_v×v,M=(m_ij)_v×v是两个v阶拉丁方,若矩阵 ((e_ij,m_ij)_v×v中的v²个元素偶(e_ij,m_ij)（0≤i,j≤v-1）都互不相同,则称L与M正交,或L与M是互相正交的拉丁方。正交拉丁方理论是组合设计理论的重要组成部分,有着丰富的研究成果。 与正交拉丁方的研究相对应的是比正交条件弱的各种概念及问题的研究。1782年,在构造一对6阶正交拉丁方的努力失败后,L·欧拉构造了一对不完全拉丁方,它们可以产生出34=6²-2个不同的有序元素偶和两个空位置,后来这种拉丁方被称为欧拉型的不完全欧拉方。此后,各种比正交弱的概念被陆续提出和研究。这些概念有“接近正交”,“不完全正交”,“垂直”等等。 两个v阶拉丁方,L=(l_ij)和M=(m_ij),被称为是r-正交的,如果把他们重叠起来可以得到恰好r个不同的有序元素偶,即 |{(e_ij,m_ij)∶0≤i,j≤v-1}|=r。Belyavskaya在1976年首先系统地着手研究下列问题:对什么样的正整数v和r,能够有一对v阶r-正交拉丁方存在?到2002年,这个问题最终被朱烈和H.Zhang完全解决。 在一对v阶r-正交拉丁方L和M中,如果M是L的转置,则我们称L是r-自正交的,并记L为r-SOLS（v）。在关于r-正交拉丁方存在性的最后一篇文章中,朱烈和H.Zhang给出了一个关于r-自正交拉丁方的猜想:存在一个正整数v₀,使对任意的整数v,当v≥v₀时,对每一个r∈[v,v²]{v+1,v²-1},都存在r-SOLS（v）。 在本文中,我们证明v₀≤27,并给出关于r-自正交拉丁方存在性问题的一个几乎完全的解决。本文主要结论如下: