本文隶属于凸几何的应用领域,该领域是近几十年来在国际上发展非常迅速而重要的一个几何学分支.本学位论文利用几何分析中的凸体理论,积分变换方法和解析不等式理论,致力于研究凸体在概率论和信息论中的应用问题.本文第二章推广了随机集的强大数定理[7].利用简单随机序列的逼近方法,建立了关于随机星体的调和p组合的强大数定理.令人惊奇的是,在调和p组合和Firey组合之间也存在着密切的联系.根据随机星体的调和p组合的强大数定理,结合极对偶的思想方法和Hausdorff逼近,我们能够获得Firey组合的强大数定理.此外,通过调和p组合的强大数定理,我们将证明对偶Brunn-Minkowski不等式的概率形式.本文第三章主要建立了均质积分Brunn-Minkowski不等式的概率形式.根据Polish空间的Hausdorff逼近和Kolmogorov强大数定理,我们证明了Hausdorff度量下的Firey组合的强大数定理.为了更好地理解随机凸体X的选取p期望EpX,根据cressie[20]的思想和方法,接下来我们给出了Firey组合的强大数定理的另外一个证明,最后建立了均质积分Brunn-Minkowski不等式的概率形式.本文第四章的内容是推广Shapley-Folkman-Starr定理.Shapley-Folkman-Starr定理是数理经济中基本而又重要的结果.它与Caratheodory定理(数学家众所周知的凸几何结果)密切相关.在第四章中,我们工作的目的是利用凸几何的思想和方法(例如Minkowski和,仿射组合,凸组合,Hausdorff度量),推广Shapley-Folkman-Starr定理到一个Kp版本,当p=1时就是起始的定理.这涉及定义两个集合的p和——经典Minkowski和的推广在第五章,我们首先引进了一个新的概念——关于星体的随机向量的径向p矩,这是标准p矩的推广形式.然后我们建立了径向p矩的一些属性,并给出了一些相关的应用.在最后一章,我们给出了λ-Renyi熵幂和等高体为K的广义Gaussian--bG(?)的径向p矩.进一步,通过λ-Renyi熵幂和径向p矩的关系我们获得了矩熵不等式的一般形式以及一些相关的应用.