周期系统是物理学研究的焦点内容之一，例如晶格周期势场中电子的运动是固体物理学的基础。伴随实验技术的发展，最近涌现出一批新型的人工周期系统，比如光晶格中的超冷原子气，波导阵列和由光诱导的光子晶格，等等。这些系统除了都具有周期性外还具有非线性，研究非线性周期系统的解对于人们认识这些系统的性质有重要意义。　　 一维非线性周期系统存在两种典型的定态解，即非线性布洛赫波解和能隙孤子解。布洛赫波是系统周期性的内禀属性，考虑非线性之后由于系统周期性，布洛赫波仍然存在，称为非线性布洛赫波解，它是延展态，其波形可以存在于整个空间；而能隙孤子解是空间局域态，这些解只存在于对应的线性布洛赫能谱的能隙中。由于在线性情况时，能隙中不存在任何有物理意义的解，所以能隙孤子解必须是考虑非线性的结果，即能隙孤子解没有线性对应。能隙孤子中有一类特别重要的，被称为基本能隙孤子，通过它们可以构造出高阶能隙孤子。　　 作者首次揭示了这两种完伞不同的解相互之间存在联系。具体地作者称这种联系为非线性布洛赫波和能隙孤子的对应关系或组成关系，即基本能隙孤子可以看作是非线性布洛赫波的组成单元。换句话说，非线性布洛赫波是由基本能隙孤子所组成的孤子串。具体地在布里渊区中心处的非线性布洛赫波可以看成是由无穷个基本能隙孤子相位相同地占据所有周期势势阱而形成；而在布里渊区边界处的非线性布洛赫波可以理解为由无穷个基本能隙孤子相位相反地占据所有周期势势阱而形成，相位相反指近邻的两个基本孤子的相位相反。　　 以研究对应关系为主线，本文的目的主要有三个方面。一是揭示对应关系的存在性。因为该对应关系是直接数值观察的结果，而且在很小一部分参数下对应关系变得很模糊，这使得直接证明其存在性变得不现实。这里作者从另一个角度证明其存在性，即首先作者假设对应关系是存在的，然后根据对应关系在不用作任何计算的情况下，尽可能多地做出推论，最后通过数值方法验证这些推论。所有的结论如果都可以被验证是对的，也就说对应关系确实存在。同时作者从基本能隙孤子和非线性瓦尼尔函数的联系上进一步地说明对应关系的存在性。本文目的的第二个方面是全面系统地认识能隙孤子的性质。以对应关系为基础，作者从线性布洛赫能谱出发，可以对能隙孤子的所有性质作出全面的认识。例如考虑自散焦非线性，在第n个线性布洛赫能隙中存在有n族不同的基本能隙孤子，而考虑自聚焦非线性，在每个线性布洛赫能隙中存在有无穷多族不同的基本能隙孤子。以前人们仅知道前两族的存在，并错误地认为第二族和第一族不具有同等地位，而把第二族叫做亚基本(sub-fundamental)能隙孤子。本文目的的第三个方面是作为对应关系的应用，作者将对应关系推广到更为普遍的情况。即基本能隙孤子不光是相应非线性布洛赫波解的组成单元，而且还是其他一维非线性周期系统定态解的组成单元，这些解包括所有高阶能隙孤子，能隙波，和多倍周期解。另外作者对基本能隙孤子和能隙波的稳定性作出分析，将这些解的不稳定区域表记出来。　　 本文具体安排如下。第一章介绍三种目前分析能隙孤子和非线性Bloch波实验上已经实现的人工非线性周期系统，包括波导阵列，由光诱导的光子晶格，和光学晶格中的玻色爱因斯坦凝聚。给出这些系统所对应的数学模型。第二章分析—维线性周期系统解的性质，为研究非线性系统做准备。第三章介绍目前人们研究能隙孤子的几种方法，比较它们的优缺点，最后引出作者对于能隙孤子的定义。第四章证明非线性布洛赫波与能隙孤子对应关系的存在性。第五章是对应关系的应用，作者将其推广为基本能隙孤子还是高阶能隙孤子，能隙波和多倍周期解的基本组成单元。第六章中作者对基本能隙孤子和能隙波作稳定性分析，并且对基本能隙孤子的截断现象作解释。