对于流体在非理想介质中的运动,人们通常用Navi-Stokes方程来讨论。Burgers方程是Navi-Stokes方程的典型形式,因此对于随机超声波方程的研究,我们着重讨论随机Burgers模型。考虑到流体介质的粘性影响,发现当雷诺数R很大时,有限振幅波能量不断叠加,最终形成陡峭的冲击波;当雷诺数很小,即流体运动发生耗散时,不能形成陡峭的间断面。因此,本文应用奇摄动渐近展开方法,分别讨论一维随机Burgers模型和二维随机Burgers模型在不同雷诺数下的渐近解。前人对随机Burgers模型的研究多是采用数值分析与计算机模拟来讨论其数值解以及扰动下的随机超敏现象,很少能够直接求解随机模型的解析解。迄今为止,应用奇摄动分析方法来求解随机Burgers模型的渐近解的相关报道比较少。首先讨论当雷诺数R较小时的一维随机Burgers模型。由扩散过程满足的后向Kolmogorov公式,构造得到相应的期望方程。应用奇摄动方法、极值原理得到非线性Burgers方程与线性期望方程的耦合方程的形式渐近解的一致有效性。其次讨论一维有界区域上的随机Burgers模型,由删除定律与奇摄动理论得到运动方程与期望方程的正则部分与边界层矫正函数。当雷诺数R?1时,讨论具有冲击波的一维随机Burgers模型,得到冲击波产生的位置与抵达时间。结合奇摄动分析方法得到矫正函数,且矫正函数的多解与衰减性充分地展示冲击波的详细特征。应用极值原理证明了形式渐近解的一致有效性。将一维问题推广到二维,讨论雷诺数较小时的二维随机Burgers模型,建立二维非线性Burgers方程与线性期望方程的模型。利用奇摄动方法进行展开得到相应的形式渐近解。在一维极值原理的基础上,得到了一个修正的极值原理,并应用于余项估计得到形式渐近解的有效性。而当雷诺数很大时,讨论一类具有冲击波的二维随机Burgers模型,并构造相应的期望方程。应用局部变换与拉伸变换得到正则部分与中间层矫正函数,且矫正函数的多解与衰减性充分表达了冲击波的特征。结合修正后的极值原理,证明了形式渐近解的一致有效性。主要内容如下:一、研究了一维随机Burgers模型。首先研究了雷诺数较小时的一维无界区域上的随机Burgers方程,其噪声项服从弱噪声Ornstein-Uhlenbeck(O—U)过程。由扩散过程的转移概率密度函数满足的后向Kolmogorov方程,建立了波运动满足的期望方程。由于期望方程的定解条件涉及到Burgers方程的解,因此本问题实际为非线性Burgers方程与线性期望方程的联立问题。应用奇摄动渐近展开,得到二阶拟线性偏微分方程的闭式解。结合微分方程理论,得到运动方程与期望方程的渐近解。应用极值原理证明了形式渐近解的一致有效性。其次,研究了一维有界区域上的随机Burgers方程,并建立了波运动满足的期望方程。由删除定律和奇摄动分析方法,得到期望方程的正则部分与边界层矫正函数。由Ascoli-Arzela定理证明了非线性抛物方程解的有界性与存在性;由Lax-Milgram定理证明了线性抛物方程解的有界性与存在性。通过De-Giorgi迭代技术得到运动方程与期望方程形式渐近解的一致有效性。二、研究了具有冲击波的一维随机Burgers模型,构造了非线性Burgers方程与期望方程联立模型,得到了冲击波产生的位置与抵达时间。应用奇摄动方法,在冲击波中间层左右两边分别进行渐近展开,得到渐近解的正则部分和中间层矫正函数。由矫正函数的多解与衰减性,发现在特定条件下,矫正函数是任意多个解;在其他情形下,左边界矫正函数呈现指数形式上升,而右边界矫正函数是指数形式衰减或者幂律形式衰减的。同样地,得到期望方程的边界矫正函数为指数形式。由极值原理得到形式渐近解的一致有效性。三、研究了二维随机Burgers模型,即一类无界区域上具有有色噪声干扰的二维随机Burgers方程,其波动率服从弱噪声Ornstein-Uhlenbeck(O—U)过程。由Kolmogorov公式构造得到非线性Burgers方程与线性期望方程的联立形式。应用奇摄动方法进行展开,得到波运动与期望方程的渐近解。结合修正后的极值原理得到了渐近解的有效性。四、研究了具有冲击波的二维随机Burgers模型,即在弱噪声意义下的无界区域上的随机Burgers方程,得到二维冲击波产生的时间与特征面。应用局部变换与拉伸变换,在冲击波特征面两侧分别进行奇摄动渐近展开,得到波运动方程与期望方程的正则部分和中间层矫正函数,并分别讨论矫正函数的解。结果表明,波运动方程在特定条件下,矫正函数是任意多个解;在其他情形下,左边界矫正函数呈现指数形式上升,而右边界函数是以指数形式衰减或幂律形式衰减的。同样地,得到期望方程的边界层矫正函数为指数形式。结合修正后的极值原理得到形式渐近解的有效性。在研究过程中,我们综合应用了常微分方程,偏微分方程,随机过程,随机微分方程,非线性声学,冲击波理论,流体力学,奇摄动理论等多个方面的知识,不仅丰富了随机Burgers方程的研究,还深入了对超声波的探讨。