【摘 要】
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自由群Fn=F＜x1,…,xn＞中的元素w=w（x1,…,xn）在有限群G上会诱导从Gn到G的映射w:Gn→G,（g1,…,gn）→w（g1,…,gn）,称w为n-变量的字,映射w:Gn→G为群G上的n-变量字映射.字映射与有限群之间有着密切的联系,可以用字映射诱导的概率分布来刻画有限群,人们已经证明一个有限群为幂零群的充要条件是这个群上每个满的字映射都具有均匀分布.基于上述字映射诱导的概率分布能
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自由群Fn=F＜x1,…,xn＞中的元素w=w（x1,…,xn）在有限群G上会诱导从Gn到G的映射w:Gn→G,（g1,…,gn）→w（g1,…,gn）,称w为n-变量的字,映射w:Gn→G为群G上的n-变量字映射.字映射与有限群之间有着密切的联系,可以用字映射诱导的概率分布来刻画有限群,人们已经证明一个有限群为幂零群的充要条件是这个群上每个满的字映射都具有均匀分布.基于上述字映射诱导的概率分布能刻画幂零群的研究成果,我们致力于研究字映射对可解群的刻画,本文研究了几类半直积型有限亚循环群上的字映射诱导的概率分布.在研究群上的字映射诱导的概率分布之前,首先需要知道群上所有的字映射.二面体群、双循环群以及拟二面体群上所有不同的2-变量字映射已经清晰,本文在此基础上研究了二面体群上的2-变量字映射诱导的概率分布,得到了计算二面体群上的2-变量字映射诱导的概率分布的一般公式以及诱导均匀分布的充要条件.在研究素数阶循环群的全形G=Cp×Cp-1上的字映射诱导的概率分布时,我们发现[21]对群G=Cp×Cp-1上2-变量字映射的计数有误,本文重新进行证明给出了新的结论,并在此基础上研究其上所有2-变量字映射诱导的概率分布,得到了诱导均匀分布的充要条件.特别地,对其为交换群时诱导的概率分布进行了计数,并推广至一般的有限交换群上研究概率分布的计数问题,得到了更为一般的结论.
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