【摘 要】
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关于线性算子升与降的概念最早由A.E.Taylor（[1],1966）和D.C.Lay（[2],1970）提出,他们利用升与降给出了线性算子谱分析的一些结果。这些内容也可见于由上述二人写的书[3]中,文献[3]对线性算子定义了升与降。1991年,S.M.Verduyn Lunel（[4]）对线性算子半群提出了升的概念,并利用它讨论算子半群无穷小母元根子空间完整性问题。但对线性算子半群升与降的系统研
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关于线性算子升与降的概念最早由A.E.Taylor（[1],1966）和D.C.Lay（[2],1970）提出,他们利用升与降给出了线性算子谱分析的一些结果。这些内容也可见于由上述二人写的书[3]中,文献[3]对线性算子定义了升与降。1991年,S.M.Verduyn Lunel（[4]）对线性算子半群提出了升的概念,并利用它讨论算子半群无穷小母元根子空间完整性问题。但对线性算子半群升与降的系统研究还不多见。 本文拟对线性算子半群升与降的问题进行较系统的研究,主要解决了下列几个问题: 注我们用α（T（t））和δ（T（t））分别表示算子半群T（t）的升与降。 （1） 具有有限升与降的算子半群有分解空间为直和的性质。 定理2.5.如果α（T（t））=p<∞且δ（T（t））=q<∞,则α（T（t））=δ（T（t））=p且 X=R（T（p））（?）N（T（q））。 （2） 算子半群升与降有限的条件。 定理2.6.设线性算子族T（t）（t≥0）是定义在一Banach空间X上的C0半群,α（T（t））=p,δ（T（t））=q.若存在m>0,使得X=N（T（m））（?）R（T（m））,则α（T（t））=δ（T（t））≤m,进而有X=R（T（p））（?）N（T（q））。 定理2.7.设T（t）是Banach空间X上的C0半群,无穷小母元为A,如果其预解式R（z,A）为有限指数型的亚纯函数,则{T（t）}的升α是有限的。 定理2.8.设线性算子族T（t）（t≥0）是定义在一可分复Banach空间中的C0半群,其无穷小母元为离散算A。如果有一列圆弧围道Cl（l=1,2,…）使得 （ⅰ） Cl被包含在左半平面,即Re（z）<0且Cl∪{iΥ|-αl≤Υ≤αl}形成一闭围道,其中αl为一正实数。 （ⅱ） （?）|zl|=+∞,zl∈Cl。 （ⅲ） R（z,A）x（x∈X）的极点是一致远离Cl,即存在一严格正实数υ,使 υ=（?）{|z-λj| z∈Cl l=1,2,…},其中λj∈σ（A）（j=1,2,…）。同时,存在t0>0,使得对z∈Cl,x∈D（A）,
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