算术秩是交换代数和代数几何研宄中的一种重要工具，在本文中我们主要证明了三大部分的内容。　　第一，在文献[1]中Schmitt和Vogel提出了一种求算术秩上界的方法。在文献[2]中Barile提出了一种在代数闭域上求单项式算术秩上界的方法。在本文中，我们主要讨论一种在代数闭域上求多项式算术秩上界的方法。　　第二，在文献[3]中Barile分别给出了由一个圈组成的图和由两个圈交于一个公共点组成的图的边理想的算术秩的大小，并证明了边理想的算术秩am I(G)等于边理想的投射维数pd R/I(G)。在本文中，我们给出三个圈交于两个公共顶点组成的图的边理想的算术秩的上界，之后举例说明了算术秩取到该上界的几种情况，并且此时同样有am I(G)=pd R/I(G)的结果。　　第三，在文献[5]中Olteanu给出了生成元次数为2的字典式序段理想的算术秩等于只/I的投射维数的结论。在本文中，我们给出生成元次数为3的某些字典式序段理想的算术秩等于R/I的投射维数的几个结论。